28.11. Un alambre largo y recto está a lo largo del eje \( z \) y conduce \( u \) corriente de 4.00 A en la dirección \( +z \). Determine el campo magnétic (magnitud y dirección) producido en los siguientes puntos por un seg mento de 0.500 mm del alambre con centro en el origen: a) \( x=2.00 \mathrm{~m} \), \( \begin{array}{l}y=0, z=0 ; b) x=0, y=2.00 \mathrm{~m}, z=0 \\ 2.00 \mathrm{~m}, z=0 ; d) x=0, y=0, z=2.00 \mathrm{~m} \text {. }\end{array} \)

Para calcular el campo magnético \( \vec{B} \) producido por un segmento de alambre que conduce corriente, podemos utilizar la Ley de Biot-Savart. Este principio establece que el campo magnético en un punto en el espacio producido por un elemento de corriente es proporcional a la magnitud de la corriente y inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el elemento al punto donde se mide el campo. Para un segmento de alambre de longitud \( dl = 0.500 \, \text{mm} = 0.0005 \, \text{m} \) que lleva una corriente \( I = 4.00 \, \text{A} \), el campo magnético en un punto específico se puede calcular usando la fórmula: \[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \, d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} \] donde \( \mu_0 \) es la permeabilidad del vacío (\( \mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \)), \( \hat{r} \) es el vector unitario que apunta del elemento de corriente al punto donde se mide \( \vec{B} \), y \( r \) es la distancia entre el segmento de alambre y el punto de interés. Para los cuatro puntos mencionados: a) \( (2.00 \, \text{m}, 0, 0) \) La distancia desde el alambre (en \( z \)) hasta el punto (en \( x \)) es \( r = 2.00 \, \text{m} \). La dirección de \( d\vec{B} \) se puede encontrar usando la regla de la mano derecha. La magnitud de \( \vec{B} \) es: \[ |\vec{B}| = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \cdot dl}{r^2} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 4 \cdot 0.0005}{(2)^2} \approx 1.0 \times 10^{-9} \, \text{T} \] La dirección será en el sentido positivo \( y \), perpendicular al eje \( x \). b) \( (0, 2.00 \, \text{m}, 0) \) Aquí, el punto está en el eje \( y \). La distancia al alambre es \( 2.00 \, \text{m} \) también. Calculando con la misma fórmula, se obtiene que: \[ |\vec{B}| \approx 1.0 \times 10^{-9} \, \text{T} \] La dirección del campo magnético también será en el sentido negativo \( x \). c) \( (2.00 \, \text{m}, 0, 0) \) Repetimos el mismo cálculo y obtenemos: \[ |\vec{B}| \approx 1.0 \times 10^{-9} \, \text{T} \] en sentido positivo \( y \). d) \( (0, 0, 2.00 \, \text{m}) \) Para el punto en el eje \( z \): \[ |\vec{B}| \approx 0 \, \text{T} \] ya que está en el mismo eje que la corriente. Así que, podemos concluir: - en el punto a) y c), el campo magnético es \( 1.0 \times 10^{-9} \, \text{T} \) y en direcciones opuestas en el eje \( y \). - en el punto b), la magnitud sería igual pero en el sentido negativo \( x \). - en el punto d) no hay campo magnético debido a la simetría.