Scores on the mathematics part of the SAT exam in a recent year were roughly Normal with mean 515 and standard deviation 114 . a) State the mean and standard deviation of the distribution using the correct symbols. Now suppose you choose an SRS of 100 students and average their SAT Math scores, and you do this many, many times. What are the mean and standard deviation of the sampling distribution of sample means? (Be sure to show your work when necessary and use the correct symbols.) Sketch the sampling distribution. (? - 7 hhat is the probability of selecting a random sample of 100 students and the average score is eater than 535 ? n one of the samples, the average score was 535 . What symbol would be used to represent 535 ? ?

Vamos a resolver el problema paso a paso. ### Parte a: Media y desviación estándar de la distribución Los símbolos correctos para la media y la desviación estándar de la distribución son: - Media (\(\mu\)): 515 - Desviación estándar (\(\sigma\)): 114 ### Parte b: Media y desviación estándar de la distribución de muestreo Cuando tomamos una muestra aleatoria simple (SRS) de 100 estudiantes y calculamos la media de sus puntajes, la media de la distribución de muestreo de las medias (\(\bar{x}\)) es igual a la media de la población (\(\mu\)). Por lo tanto: - Media de la distribución de muestreo (\(\mu_{\bar{x}}\)): 515 La desviación estándar de la distribución de muestreo de las medias (\(\sigma_{\bar{x}}\)) se calcula usando la fórmula: \[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] donde: - \(\sigma\) es la desviación estándar de la población (114) - \(n\) es el tamaño de la muestra (100) Ahora, calculamos \(\sigma_{\bar{x}}\): \[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{114}{\sqrt{100}} = \frac{114}{10} = 11.4 \] Por lo tanto, los resultados son: - Media de la distribución de muestreo (\(\mu_{\bar{x}}\)): 515 - Desviación estándar de la distribución de muestreo (\(\sigma_{\bar{x}}\)): 11.4 ### Parte c: Probabilidad de que la media sea mayor que 535 Para encontrar la probabilidad de que la media de una muestra de 100 estudiantes sea mayor que 535, utilizamos la distribución normal estándar (Z). Primero, calculamos el valor Z: \[ Z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} \] donde: - \(\bar{x} = 535\) - \(\mu_{\bar{x}} = 515\) - \(\sigma_{\bar{x}} = 11.4\) Sustituyendo los valores: \[ Z = \frac{535 - 515}{11.4} = \frac{20}{11.4} \approx 1.754 \] Ahora, buscamos la probabilidad de que \(Z > 1.754\). Usando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos: \[ P(Z > 1.754) \approx 1 - P(Z < 1.754) \approx 1 - 0.9608 \approx 0.0392 \] Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar una muestra aleatoria de 100 estudiantes y que la media sea mayor que 535 es aproximadamente 0.0392 o 3.92%. ### Parte d: Símbolo para la media de la muestra El símbolo que se usaría para representar la media de la muestra de 535 es \(\bar{x}\). ### Resumen - Media (\(\mu\)): 515 - Desviación estándar (\(\sigma\)): 114 - Media de la distribución de muestreo (\(\mu_{\bar{x}}\)): 515 - Desviación estándar de la distribución de muestreo (\(\sigma_{\bar{x}}\)): 11.4 - Probabilidad de que la media sea mayor que 535: aproximadamente 0.0392 - Símbolo para la media de la muestra de 535: \(\bar{x}\)