$$ \int \frac { \sin ^ { 3 } heta } { \cos ^ { 2 } heta } d heta $$

Question

$$ \int \frac { \sin ^ { 3 } 	heta } { \cos ^ { 2 } 	heta } d 	heta $$

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Escribir el integrando usando la identidad $$ \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta $$:
   $$
   \sin^3\theta = \sin\theta \cdot \sin^2\theta = \sin\theta \left(1-\cos^2\theta\right)
   $$
   Así, el integrando se convierte en:
   $$
   \frac{\sin^3\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta \left(1-\cos^2\theta\right)}{\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} - \sin\theta.
   $$

2. Separar la integral:
   $$
   \int \frac{\sin^3\theta}{\cos^2\theta}d\theta = \int \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}d\theta - \int \sin\theta\, d\theta.
   $$

3. Resolver la primera integral mediante sustitución:
   - Sea $$ u = \cos\theta $$, por lo que $$ du = -\sin\theta\, d\theta $$ y, de ello, $$ \sin\theta\, d\theta = -du $$.
   - La integral se transforma en:
     $$
     \int \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}d\theta = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2}du.
     $$
   - Integrar:
     $$
     -\int u^{-2}du = -\left(-\frac{1}{u}\right) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos\theta}.
     $$

4. Resolver la segunda integral:
   $$
   \int \sin\theta\, d\theta = -\cos\theta.
   $$

5. Combinar ambas partes:
   $$
   \int \frac{\sin^3\theta}{\cos^2\theta}d\theta = \frac{1}{\cos\theta} - (-\cos\theta) = \frac{1}{\cos\theta} + \cos\theta + C.
   $$

La solución final es:
$$
\boxed{\frac{1}{\cos\theta} + \cos\theta + C}
$$
La integral $$ \int \frac{\sin^3\theta}{\cos^2\theta} d\theta $$ se resuelve al aplicar la sustitución $$ u = \cos\theta $$, lo que da como resultado $$ \frac{1}{\cos\theta} + \cos\theta + C $$.

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