1. Determino si cada pareja de rectas son paralelas, perpendiculares o no cumplen ninguna de las dos condiciones. a. \( \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=-1 \\ -x+y=4\end{array}\right. \) b. \( \left\{\begin{array}{l}2 y+x=6 \\ y-2=-\frac{1}{2} x\end{array}\right. \) c. \( \left\{\begin{array}{l}y-2 x=1 \\ 2 y+x=6\end{array}\right. \) d. \( \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=-1 \\ x-y=4\end{array}\right. \)

Para determinar si las rectas son paralelas, perpendiculares o ni una ni otra, primero debemos convertir cada ecuación a la forma pendiente-intersección \(y = mx + b\), donde \(m\) es la pendiente de la recta. a. 1. Transformamos la primera ecuación: \(2y = -3x - 1 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\) (pendiente \(m_1 = -\frac{3}{2}\)). 2. Transformamos la segunda ecuación: \(y = x + 4\) (pendiente \(m_2 = 1\)). - Las pendientes son diferentes, por lo tanto, son intersectantes, y no paralelas ni perpendiculares. b. 1. Para la primera, \(2y = -x + 6 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 3\) (pendiente \(m_1 = -\frac{1}{2}\)). 2. Para la segunda, \(y = -\frac{1}{2}x + 2\) (pendiente \(m_2 = -\frac{1}{2}\)). - Ambas rectas tienen la misma pendiente, por lo que son paralelas. c. 1. De la primera: \(y = 2x + 1\) (pendiente \(m_1 = 2\)). 2. Para la segunda: transformamos a \(y = -2x + 6\) (pendiente \(m_2 = -2\)). - Las pendientes son opuestas y multiplicadas por \(-1\), por lo que son perpendiculares. d. 1. Para la primera: \(y = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\) (pendiente \(m_1 = -\frac{3}{2}\)). 2. La segunda: \(y = x - 4\) (pendiente \(m_2 = 1\)). - Nuevamente, las pendientes son diferentes, así que son intersectantes, no paralelas ni perpendiculares. Así quedamos con el resultado para cada par: a. No cumplen ninguna condición. b. Paralelas. c. Perpendiculares. d. No cumplen ninguna condición.