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Ask by Hardy Brewer. in Colombia

Mar 25,2025

Question

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UpStudy AI · Accepted Answer

**1. Función** $$ f(x)=\frac{4x+1}{7x-3} $$

**Dominio:**

- La función está definida para todos los $$ x $$ tales que el denominador no se anula, es decir:
  $$
  7x-3\neq 0 \quad \text{lo que implica} \quad 7x\neq 3 \quad \Rightarrow \quad x\neq \frac{3}{7}.
  $$
- Por lo tanto, el dominio es:
  $$
  \{ x\in\mathbb{R} : x\neq \frac{3}{7} \}.
  $$

**Rango:**

- Sea $$ y=\frac{4x+1}{7x-3} $$. Resolveremos para $$ x $$ en términos de $$ y $$:
  $$
  y(7x-3)=4x+1.
  $$
- Multiplicamos:
  $$
  7yx-3y=4x+1.
  $$
- Agrupamos los términos en $$ x $$:
  $$
  7yx-4x=3y+1 \quad \Rightarrow \quad x(7y-4)=3y+1.
  $$
- Entonces, despejamos $$ x $$:
  $$
  x=\frac{3y+1}{7y-4},
  $$
  siempre que $$ 7y-4\neq 0 $$. Es decir, $$ y\neq \frac{4}{7} $$.

- Esto muestra que para cualquier $$ y\in\mathbb{R} $$ con $$ y\neq \frac{4}{7} $$, existe un $$ x $$ que produce dicho $$ y $$. Además, si $$ y=\frac{4}{7} $$ el denominador se hace cero y no se puede obtener un $$ x $$ correspondiente.
  
- Por lo tanto, el rango es:
  $$
  \{ y\in\mathbb{R} : y\neq \frac{4}{7} \}.
  $$

---

**2. Función** $$ f(x)=\sqrt{2x-3} $$

**Dominio:**

- La raíz cuadrada está definida para argumentos no negativos:
  $$
  2x-3\ge 0 \quad \Rightarrow \quad 2x\ge 3 \quad \Rightarrow \quad x\ge \frac{3}{2}.
  $$
- Por lo tanto, el dominio es:
  $$
  \left[\frac{3}{2}, \infty\right).
  $$

**Rango:**

- Debido a que $$ f(x)=\sqrt{2x-3} $$ siempre es mayor o igual a cero, el rango se determina analizando los valores obtenidos cuando $$ x\ge \frac{3}{2} $$.
  
- Si $$ x=\frac{3}{2} $$:
  $$
  f\left(\frac{3}{2}\right)=\sqrt{2\cdot\frac{3}{2}-3}=\sqrt{3-3}=0.
  $$
  
- Cuando $$ x $$ tiende a $$ \infty $$:
  $$
  f(x)=\sqrt{2x-3}\rightarrow \infty.
  $$
  
- Además, para cualquier $$ y\ge 0 $$ se puede encontrar un $$ x $$ tal que:
  $$
  y=\sqrt{2x-3}\quad \Rightarrow \quad 2x-3=y^2\quad \Rightarrow \quad x=\frac{y^2+3}{2},
  $$
  y dado que $$ y\ge 0 $$ se tiene $$ x\ge \frac{3}{2} $$.

- Por lo tanto, el rango es:
  $$
  \left[0,\infty\right).
  $$
**1. Función** $$ f(x)=\frac{4x+1}{7x-3} $$ - **Dominio:** Todos los números reales excepto $$ x = \frac{3}{7} $$. - **Rango:** Todos los números reales excepto $$ y = \frac{4}{7} $$. **2. Función** $$ f(x)=\sqrt{2x-3} $$ - **Dominio:** $$ x \geq \frac{3}{2} $$. - **Rango:** $$ y \geq 0 $$.

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