5. Paula acepta cancelar una deuda de $$ \$ 500.000 $$ mediante pagos mensuales de $$ \$ 25000 $$, con interés del $$ 20 \% $$ anual, ¿cuál es el numero de mensualidades y cuál es el valor del último pago? 6. Alejandro deposita $$ \$ 50.000 $$ cada mes en una cuenta de ahorros que paga $$ 20 \% $$ anual, encuentra la cantidad de dinero que tendrá transcurrido 1 y 2 años. Evaluación Plantea una situación de tu vida cotidiana y resuélvela donde se trabaje con prestación de servicios. 2. Plantea una situación de tu vida cotidiana y resuélvela donde trabajes con el aumento de salario. 1. 2

Question

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Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso.

### Problema 5: Paula y su deuda

**Condiciones conocidas:**
- Deuda total: $$ D = 500000 $$
- Pago mensual: $$ P = 25000 $$
- Tasa de interés anual: $$ r = 20\% $$ (lo que equivale a $$ \frac{20}{12} \% $$ mensual)

Primero, convertimos la tasa de interés anual a mensual:

$$
r_m = \frac{20\%}{12} = \frac{0.20}{12} \approx 0.01667
$$

Ahora, utilizamos la fórmula de la amortización para calcular el número de mensualidades $$ n $$ y el valor del último pago. La fórmula para el saldo de un préstamo con pagos mensuales es:

$$
D = P \cdot \frac{1 - (1 + r_m)^{-n}}{r_m}
$$

Reorganizando para encontrar $$ n $$:

$$
n = -\frac{\log\left(1 - \frac{D \cdot r_m}{P}\right)}{\log(1 + r_m)}
$$

Ahora, calculamos $$ n $$ usando los valores conocidos.

### Problema 6: Alejandro y su ahorro

**Condiciones conocidas:**
- Depósito mensual: $$ P = 50000 $$
- Tasa de interés anual: $$ r = 20\% $$ (lo que equivale a $$ \frac{20}{12} \% $$ mensual)
- Tiempo: $$ t_1 = 1 $$ año y $$ t_2 = 2 $$ años

La cantidad de dinero acumulada en una cuenta de ahorros con depósitos regulares se puede calcular con la fórmula del valor futuro de una serie de pagos:

$$
FV = P \cdot \frac{(1 + r_m)^{n} - 1}{r_m}
$$

Donde $$ n $$ es el número total de depósitos (número de meses).

Para $$ t_1 = 1 $$ año ($$ n_1 = 12 $$) y $$ t_2 = 2 $$ años ($$ n_2 = 24 $$), calcularemos el valor futuro para ambos casos.

Ahora, procederé a realizar los cálculos necesarios para ambos problemas.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(1-\frac{\left(500000\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)}{25000}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)}}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(1-\frac{500000\left(\frac{0.2}{12}\right)}{25000}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)}}$$
- step2: Divide the terms:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(1-\frac{500000\times \frac{1}{60}}{25000}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)}}$$
- step3: Divide the terms:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(1-\frac{500000\times \frac{1}{60}}{25000}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\frac{1}{60}\right)}}$$
- step4: Multiply the numbers:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(1-\frac{\frac{25000}{3}}{25000}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\frac{1}{60}\right)}}$$
- step5: Divide the terms:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(1-\frac{1}{3}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\frac{1}{60}\right)}}$$
- step6: Subtract the numbers:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(\frac{2}{3}\right)}}{\log_{10}{\left(1+\frac{1}{60}\right)}}$$
- step7: Add the numbers:
  $$-\frac{\log_{10}{\left(\frac{2}{3}\right)}}{\log_{10}{\left(\frac{61}{60}\right)}}$$
- step8: Use the logarithm base change rule:
  $$-\log_{\frac{61}{60}}{\left(\frac{2}{3}\right)}$$
- step9: Rewrite the expression:
  $$-\log_{\frac{61}{60}}{\left(2\right)}+\log_{\frac{61}{60}}{\left(3\right)}$$
Calculate or simplify the expression $$ 50000 * ((1 + (0.20/12))^12 - 1) / (0.20/12) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{50000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{12}-1\right)}{\left(\frac{0.2}{12}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{50000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{12}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step2: Divide the terms:
  $$\frac{50000\left(\left(1+\frac{1}{60}\right)^{12}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{50000\left(\left(\frac{61}{60}\right)^{12}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$\frac{50000\times \frac{61^{12}-60^{12}}{60^{12}}}{\frac{0.2}{12}}$$
- step5: Divide the terms:
  $$\frac{50000\times \frac{61^{12}-60^{12}}{60^{12}}}{\frac{1}{60}}$$
- step6: Multiply the numbers:
  $$\frac{\frac{61^{12}-60^{12}}{5^{7}\times 4^{10}\times 3^{12}}}{\frac{1}{60}}$$
- step7: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{61^{12}-60^{12}}{5^{7}\times 4^{10}\times 3^{12}}\times 60$$
- step8: Rewrite the expression:
  $$\frac{61^{12}-60^{12}}{5^{7}\times 4^{10}\times 3^{12}}\times 5\times 12$$
- step9: Reduce the numbers:
  $$\frac{61^{12}-60^{12}}{5^{6}\times 4^{10}\times 3^{12}}\times 12$$
- step10: Rewrite the expression:
  $$\frac{61^{12}-60^{12}}{5^{6}\times 4^{10}\times 3^{12}}\times 4\times 3$$
- step11: Reduce the numbers:
  $$\frac{61^{12}-60^{12}}{5^{6}\times 4^{9}\times 3^{11}}\times 1$$
- step12: Multiply the fractions:
  $$\frac{61^{12}-60^{12}}{15625\times 4^{9}\times 3^{11}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 50000 * ((1 + (0.20/12))^24 - 1) / (0.20/12) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{50000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{24}-1\right)}{\left(\frac{0.2}{12}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{50000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{24}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step2: Divide the terms:
  $$\frac{50000\left(\left(1+\frac{1}{60}\right)^{24}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{50000\left(\left(\frac{61}{60}\right)^{24}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$\frac{50000\times \frac{61^{24}-60^{24}}{60^{24}}}{\frac{0.2}{12}}$$
- step5: Divide the terms:
  $$\frac{50000\times \frac{61^{24}-60^{24}}{60^{24}}}{\frac{1}{60}}$$
- step6: Multiply the numbers:
  $$\frac{\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{19}\times 4^{22}\times 3^{24}}}{\frac{1}{60}}$$
- step7: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{19}\times 4^{22}\times 3^{24}}\times 60$$
- step8: Rewrite the expression:
  $$\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{19}\times 4^{22}\times 3^{24}}\times 5\times 12$$
- step9: Reduce the numbers:
  $$\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{18}\times 4^{22}\times 3^{24}}\times 12$$
- step10: Rewrite the expression:
  $$\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{18}\times 4^{22}\times 3^{24}}\times 4\times 3$$
- step11: Reduce the numbers:
  $$\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{18}\times 4^{21}\times 3^{23}}\times 1$$
- step12: Multiply the fractions:
  $$\frac{61^{24}-60^{24}}{5^{18}\times 4^{21}\times 3^{23}}$$
### Solución del Problema 5: Paula y su deuda

1. **Cálculo del número de mensualidades $$ n $$**:
   - Usando la fórmula:
   $$
   n \approx 24.53
   $$
   Esto significa que Paula necesitará aproximadamente 25 mensualidades para cancelar su deuda.

2. **Cálculo del valor del último pago**:
   - El último pago se puede calcular como el saldo restante después de los primeros 24 pagos. Para esto, utilizamos la fórmula del saldo de un préstamo:
   $$
   S = D \cdot (1 + r_m)^{n} - P \cdot \frac{(1 + r_m)^{n} - 1}{r_m}
   $$
   Donde $$ S $$ es el saldo después de $$ n $$ pagos. Calcularemos el saldo después de 24 pagos y luego el último pago.

### Solución del Problema 6: Alejandro y su ahorro

1. **Cálculo del valor futuro después de 1 año**:
   - Usando la fórmula:
   $$
   FV_1 \approx 658173.25
   $$
   Alejandro tendrá aproximadamente $$ \$ 658173.25 $$ después de 1 año.

2. **Cálculo del valor futuro después de 2 años**:
   - Usando la fórmula:
   $$
   FV_2 \approx 1460743.85
   $$
   Alejandro tendrá aproximadamente $$ \$ 1460743.85 $$ después de 2 años.

### Resumen de Resultados

- **Paula**:
  - Número de mensualidades: $$ 25 $$
  - Valor del último pago: (se calculará a continuación)

- **Alejandro**:
  - Cantidad después de 1 año: $$ \$ 658173.25 $$
  - Cantidad después de 2 años: $$ \$ 1460743.85 $$

Ahora, procederé a calcular el saldo restante de Paula después de 24 pagos para determinar el valor del último pago.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$500000\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{25}-\frac{25000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{25}-1\right)}{\left(\frac{0.2}{12}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$500000\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{25}-\frac{25000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{25}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step2: Divide the terms:
  $$500000\left(1+\frac{1}{60}\right)^{25}-\frac{25000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{25}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step3: Add the numbers:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{25000\left(\left(1+\left(\frac{0.2}{12}\right)\right)^{25}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step4: Divide the terms:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{25000\left(\left(1+\frac{1}{60}\right)^{25}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step5: Add the numbers:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{25000\left(\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-1\right)}{\frac{0.2}{12}}$$
- step6: Subtract the numbers:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{25000\times \frac{61^{25}-60^{25}}{60^{25}}}{\frac{0.2}{12}}$$
- step7: Divide the terms:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{25000\times \frac{61^{25}-60^{25}}{60^{25}}}{\frac{1}{60}}$$
- step8: Multiply the numbers:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{\frac{61^{25}-60^{25}}{5^{20}\times 2^{47}\times 3^{25}}}{\frac{1}{60}}$$
- step9: Divide the terms:
  $$500000\left(\frac{61}{60}\right)^{25}-\frac{61^{25}-60^{25}}{5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
- step10: Simplify:
  $$500000\times \frac{61^{25}}{60^{25}}-\frac{61^{25}-60^{25}}{5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
- step11: Rewrite the expression:
  $$500000\times \frac{61^{25}}{60^{25}}+\frac{60^{25}-61^{25}}{5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
- step12: Rewrite the expression:
  $$\frac{500000\times 61^{25}}{60^{25}}+\frac{60^{25}-61^{25}}{5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
- step13: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{500000\times 61^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}{60^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}+\frac{\left(60^{25}-61^{25}\right)\times 60^{25}}{5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}\times 60^{25}}$$
- step14: Rewrite the expression:
  $$\frac{500000\times 61^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}{60^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}+\frac{\left(60^{25}-61^{25}\right)\times 60^{25}}{60^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
- step15: Transform the expression:
  $$\frac{500000\times 61^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}+\left(60^{25}-61^{25}\right)\times 60^{25}}{60^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
- step16: Multiply the terms:
  $$\frac{500000\times 61^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}+60^{50}-3660^{25}}{60^{25}\times 5^{19}\times 2^{45}\times 3^{24}}$$
### Cálculo del último pago de Paula

Después de calcular el saldo restante de Paula después de 24 pagos, encontramos que:

$$
S \approx -11696.53
$$

Esto indica que, después de 24 pagos, Paula aún tendría un saldo negativo, lo que significa que el último pago será el saldo restante que debe pagar para saldar completamente la deuda.

### Valor del último pago

Dado que el saldo es negativo, esto implica que el último pago será el monto que le falta para cubrir la deuda total. Por lo tanto, el último pago será aproximadamente $$ \$ 11696.53 $$.

### Resumen Final

- **Paula**:
  - Número de mensualidades: $$ 25 $$
  - Valor del último pago: $$ \$ 11696.53 $$

- **Alejandro**:
  - Cantidad después de 1 año: $$ \$ 658173.25 $$
  - Cantidad después de 2 años: $$ \$ 1460743.85 $$

Si necesitas más información o ayuda con otros problemas, ¡no dudes en preguntar!
Paula necesita 25 pagos de \$25,000 cada uno para cancelar su deuda de \$500,000. El último pago será de aproximadamente \$11,696.53. Alejandro deposita \$50,000 mensualmente en una cuenta de ahorros con un interés del 20% anual. Después de 1 año, tendrá \$658,173.25, y después de 2 años, tendrá \$1,460,743.85.

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