c) Un deudor debe cancelar $$ \$ 14000 $$ a 3 meses con un interés del $$ 8 \% $$. Existe una penalización que, en caso de ser mocomat en sus pagos se cobrard el $$ 10 \% $$ por el tiempo que se exceda al plazo fijado, ¿cuál es la cantidad que debe pagza s deudor si han transcurrido 70 dias después del vencimiento? d) Se realiza un préstamo para devolver dentro de 6 años a una tasa de interés compuesto trimestral del $$ 3 \% $$. La cantidas que se pagó al final de los 6 an̂os fue de $$ \$ 130500 $$. Hallen el monto inicial del préstamo. e) Marcelo duda entre pedir a un banco un préstamo de $$ \$ 10000 $$ para devolver en 8 años a un interés del $$ 8 \% $$ anual. Otra entidad financiera le ofrece un $$ 1.9 \% $$ trimestral y una tercera le presenta una opción al $$ 1 \% $$ mensual. ¿Cuál es la opción más viable y por qué? f) Cierto inversionista duda sobre cuál es la mejor opción para invertir $$ \$ 20000 $$. La primera opción es del $$ 5.08 \% $$ anual, y la segunda del $$ 0.45 \% $$ mensual. ¿Cuánto sería el monto de ambas opciones? $$ \square $$ g) Se depositan $$ \$ 8000 $$ a una cuenta de banco a una tasa de interés del $$ 36 \% $$ anual capitalizable al $$ 3.6 \% $$ mensual. ¿Cuál es el monto final después de 4 años? $$ \square $$ h) ¿Cuánto ha de depositarse a una cuenta bancaria si se desea acumular un monto total de $$ \$ 250000 $$, para un plazo de 2 años a un interés bimestral del $$ 0.9 \% $$ ?

Question

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Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$10000\left(1+0.019\right)^{32}$$
- step1: Add the numbers:
  $$10000\times 1.019^{32}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$10000\left(\frac{1019}{1000}\right)^{32}$$
- step3: Simplify:
  $$10000\times \frac{1019^{32}}{1000^{32}}$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$10^{4}\times \frac{1019^{32}}{10^{96}}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$1\times \frac{1019^{32}}{10^{92}}$$
- step6: Multiply:
  $$\frac{1019^{32}}{10^{92}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 130500 / (1 + 0.03/4)^(4*6) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{130500}{\left(1+\frac{0.03}{4}\right)^{4\times 6}}$$
- step1: Divide the terms:
  $$\frac{130500}{\left(1+\frac{3}{400}\right)^{4\times 6}}$$
- step2: Add the numbers:
  $$\frac{130500}{\left(\frac{403}{400}\right)^{4\times 6}}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{130500}{\left(\frac{403}{400}\right)^{24}}$$
- step4: Simplify the expression:
  $$\frac{130500}{\frac{403^{24}}{400^{24}}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$\frac{130500\times 400^{24}}{403^{24}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 250000 / (1 + 0.009)^(12) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{250000}{\left(1+0.009\right)^{12}}$$
- step1: Add the numbers:
  $$\frac{250000}{1.009^{12}}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$\frac{250000}{\left(\frac{1009}{1000}\right)^{12}}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$\frac{250000}{\frac{1009^{12}}{1000^{12}}}$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$\frac{250000\times 1000^{12}}{1009^{12}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 10000 * (1 + 0.08)^8 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$10000\left(1+0.08\right)^{8}$$
- step1: Add the numbers:
  $$10000\times 1.08^{8}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$10000\left(\frac{27}{25}\right)^{8}$$
- step3: Simplify:
  $$10000\times \frac{27^{8}}{25^{8}}$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$625\times 16\times \frac{27^{8}}{25^{8}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$25^{2}\times 16\times \frac{27^{8}}{25^{8}}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$16\times \frac{27^{8}}{25^{6}}$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{16\times 27^{8}}{25^{6}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 14000 * (1 + 0.08) + (14000 * 0.10 * (70/30)) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$14000\left(1+0.08\right)+\left(14000\times 0.1\left(\frac{70}{30}\right)\right)$$
- step1: Add the numbers:
  $$14000\times 1.08+\left(14000\times 0.1\left(\frac{70}{30}\right)\right)$$
- step2: Reduce the fraction:
  $$14000\times 1.08+\left(14000\times 0.1\times \frac{7}{3}\right)$$
- step3: Multiply the terms:
  $$14000\times 1.08+\frac{9800}{3}$$
- step4: Multiply the numbers:
  $$15120+\frac{9800}{3}$$
- step5: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{15120\times 3}{3}+\frac{9800}{3}$$
- step6: Transform the expression:
  $$\frac{15120\times 3+9800}{3}$$
- step7: Multiply the numbers:
  $$\frac{45360+9800}{3}$$
- step8: Add the numbers:
  $$\frac{55160}{3}$$
Calculate or simplify the expression $$ 20000 * (1 + 0.0508)^2 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$20000\left(1+0.0508\right)^{2}$$
- step1: Add the numbers:
  $$20000\times 1.0508^{2}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$20000\left(\frac{2627}{2500}\right)^{2}$$
- step3: Simplify:
  $$20000\times \frac{2627^{2}}{2500^{2}}$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$2500\times 8\times \frac{2627^{2}}{2500^{2}}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$2\times \frac{2627^{2}}{625}$$
- step6: Multiply:
  $$\frac{2\times 2627^{2}}{625}$$
Calculate or simplify the expression $$ 10000 * (1 + 0.01)^96 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$10000\left(1+0.01\right)^{96}$$
- step1: Add the numbers:
  $$10000\times 1.01^{96}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$10000\left(\frac{101}{100}\right)^{96}$$
- step3: Simplify:
  $$10000\times \frac{101^{96}}{100^{96}}$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$100^{2}\times \frac{101^{96}}{100^{96}}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$1\times \frac{101^{96}}{100^{94}}$$
- step6: Multiply:
  $$\frac{101^{96}}{100^{94}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 20000 * (1 + 0.0045)^(12*2) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$20000\left(1+0.0045\right)^{12\times 2}$$
- step1: Add the numbers:
  $$20000\times 1.0045^{12\times 2}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$20000\times 1.0045^{24}$$
- step3: Convert the expressions:
  $$20000\left(\frac{2009}{2000}\right)^{24}$$
- step4: Simplify:
  $$20000\times \frac{2009^{24}}{2000^{24}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$2000\times 10\times \frac{2009^{24}}{2000^{24}}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$10\times \frac{2009^{24}}{2000^{23}}$$
- step7: Rewrite the expression:
  $$10\times \frac{2009^{24}}{1000^{23}\times 2^{23}}$$
- step8: Rewrite the expression:
  $$10\times \frac{2009^{24}}{10^{69}\times 2^{23}}$$
- step9: Reduce the numbers:
  $$1\times \frac{2009^{24}}{10^{68}\times 2^{23}}$$
- step10: Multiply the fractions:
  $$\frac{2009^{24}}{10^{68}\times 2^{23}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 8000 * (1 + 0.36)^4 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$8000\left(1+0.36\right)^{4}$$
- step1: Add the numbers:
  $$8000\times 1.36^{4}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$8000\left(\frac{34}{25}\right)^{4}$$
- step3: Simplify:
  $$8000\times \frac{34^{4}}{25^{4}}$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$125\times 64\times \frac{34^{4}}{25^{4}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$5^{3}\times 64\times \frac{34^{4}}{5^{8}}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$64\times \frac{34^{4}}{5^{5}}$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{64\times 34^{4}}{5^{5}}$$
- step8: Simplify:
  $$\frac{64\times 34^{4}}{3125}$$
Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados:

### c) Cálculo del monto a pagar después de 70 días de mora
El deudor debe cancelar $$ \$ 14000 $$ a 3 meses con un interés del $$ 8\% $$. Si se excede el plazo, se cobra un $$ 10\% $$ por el tiempo que se exceda.

1. **Cálculo del interés por el tiempo de mora:**
   - Interés total por 3 meses: 
   $$
   I = 14000 \times 0.08 = 1120
   $$
   - Total a pagar sin mora:
   $$
   T = 14000 + 1120 = 15120
   $$
   - Días de mora: 70 días, que equivalen a $$ \frac{70}{30} $$ meses.
   - Penalización por mora:
   $$
   P = 14000 \times 0.10 \times \frac{70}{30} = 14000 \times 0.10 \times 2.33 \approx 3252
   $$
   - Total a pagar con mora:
   $$
   T_{total} = 15120 + 3252 \approx 18372
   $$

### d) Cálculo del monto inicial del préstamo
Se realizó un préstamo que se devolverá en 6 años a una tasa de interés compuesto trimestral del $$ 3\% $$, y se pagó $$ \$ 130500 $$.

1. **Cálculo del monto inicial:**
   $$
   P = \frac{130500}{(1 + 0.03/4)^{4 \times 6}} \approx 109075.998218
   $$

### e) Comparación de opciones de préstamo
Marcelo tiene tres opciones de préstamo:

1. **Opción 1:** $$ 8\% $$ anual durante 8 años.
   $$
   M_1 = 10000 \times (1 + 0.08)^8 \approx 18509.302103
   $$

2. **Opción 2:** $$ 1.9\% $$ trimestral durante 8 años.
   $$
   M_2 = 10000 \times (1 + 0.019)^{32} \approx 18263.074394
   $$

3. **Opción 3:** $$ 1\% $$ mensual durante 8 años.
   $$
   M_3 = 10000 \times (1 + 0.01)^{96} \approx 25992.729256
   $$

La opción más viable es la tercera, ya que resulta en el monto más bajo a pagar.

### f) Cálculo del monto de inversión
El inversionista tiene dos opciones:

1. **Opción 1:** $$ 5.08\% $$ anual.
   $$
   M_1 = 20000 \times (1 + 0.0508)^2 \approx 22083.6128
   $$

2. **Opción 2:** $$ 0.45\% $$ mensual.
   $$
   M_2 = 20000 \times (1 + 0.0045)^{24} \approx 22275.557478
   $$

Ambas opciones son comparables, pero la primera opción es ligeramente más rentable.

### g) Cálculo del monto final después de 4 años
Se depositan $$ \$ 8000 $$ a una tasa de interés del $$ 36\% $$ anual capitalizable al $$ 3.6\% $$ mensual.

1. **Cálculo del monto final:**
   $$
   M = 8000 \times (1 + 0.36)^4 \approx 27368.16128
   $$

### h) Cálculo del depósito necesario para acumular $$ \$ 250000 $$
Se desea acumular $$ \$ 250000 $$ en 2 años a un interés bimestral del $$ 0.9\% $$.

1. **Cálculo del depósito necesario:**
   $$
   P = \frac{250000}{(1 + 0.009)^{12}} \approx 224515.337067
   $$

### Resumen de resultados
- c) Total a pagar: $$ \approx 18372 $$
- d) Monto inicial del préstamo: $$ \approx 109075.998218 $$
- e) Opción más viable: Opción 3 (1% mensual)
- f) Monto de la primera opción: $$ \approx 22083.6128 $$, segunda opción: $$ \approx 22275.557478 $$
- g) Monto final después de 4 años: $$ \approx 27368.16128 $$
- h) Depósito necesario: $$ \approx 224515.337067 $$
c) El deudor debe pagar $$ \$18,372 $$ después de 70 días de mora. d) El monto inicial del préstamo es $$ \$109,076 $$. e) La opción más viable es la tercera, con un interés del $$1\%$$ mensual, ya que resulta en el monto más bajo a pagar. f) La primera opción de inversión da un monto de $$ \$22,084 $$ y la segunda opción da $$ \$22,276 $$. g) Después de 4 años, el monto final es $$ \$27,368 $$. h) Se debe depositar $$ \$224,515 $$ para acumular $$ \$250,000 $$ en 2 años.

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