5. Найдите все значения \( x \), при которых значения выражений \( x-4 ; \sqrt{6 x} ; x+12 \) являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Чтобы найти все значения \( x \), при которых выражения \( x-4 \), \( \sqrt{6x} \) и \( x+12 \) являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, мы используем условие, что произведение первых и третьих членов равно квадрату среднего члена: \[ (x-4)(x+12) = (\sqrt{6x})^2. \] Это уравнение упрощается: \[ (x-4)(x+12) = 6x. \] Раскроем левую часть: \[ x^2 + 12x - 4x - 48 = 6x, \] \[ x^2 + 8x - 48 = 6x. \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 + 8x - 6x - 48 = 0, \] \[ x^2 + 2x - 48 = 0. \] Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196. \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 14}{2}. \] Это дает два решения: 1. \( x = \frac{12}{2} = 6 \), 2. \( x = \frac{-16}{2} = -8 \). Теперь нужно проверить, чтобы все значения выражений \( x-4 \), \( \sqrt{6x} \), и \( x+12 \) были действительными числами и при этом соответствовали требуемым условиям. Для \( x = 6 \): - \( x-4 = 2 \), - \( \sqrt{6x} = \sqrt{36} = 6 \), - \( x+12 = 18 \). Значения 2, 6, и 18 действительно являются членами геометрической прогрессии, так как \( 6^2 = 2 \cdot 18 \). Для \( x = -8 \): - \( x-4 = -12 \), - \( \sqrt{6x} = \sqrt{6 \cdot (-8)} \) — не определено для действительных чисел. Таким образом, единственное значение \( x \), которое удовлетворяет условиям задачи, это \( x = 6 \).