2. Simplifica las siguientes sumatorias. a. \( \sum_{i=1}^{10} 2 i+1 \) b. \( \sum_{m=5}^{15}(-m) \) c. \( \sum_{i=1}^{8} 2^{i-1)} \) d. \( \sum_{i=1}^{6}\left(2 k-\frac{1}{2} k\right) \) e. \( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2 i) \)
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Para simplificar las sumatorias, analizaremos cada una por separado. a. \( \sum_{i=1}^{10} (2i + 1) \): Esta suma se puede descomponer en dos sumas: \( 2\sum_{i=1}^{10} i + \sum_{i=1}^{10} 1 \). La primera suma es \( 2 \cdot \frac{10(10 + 1)}{2} = 10 \cdot 11 = 110 \) y la segunda suma es simplemente \( 10 \). Por lo tanto, \( 110 + 10 = 120 \). b. \( \sum_{m=5}^{15} (-m) \): Esto es equivalente a \( -\sum_{m=5}^{15} m \). La suma de los primeros 15 números es \( \frac{15 \cdot 16}{2} = 120 \), y de los primeros 4 es \( \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \). La suma desde 5 hasta 15 es entonces \( 120 - 10 = 110 \). Entonces, \( -110 \) es el resultado. c. \( \sum_{i=1}^{8} 2^{i-1} \): Esta es una serie geométrica. La suma de las potencias de 2 de \( 2^0 \) a \( 2^7 \) es \( \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 255 \). d. \( \sum_{i=1}^{6} \left(2k - \frac{1}{2} k\right) \): Aquí comenzamos simplificando el término dentro de la suma: \( 2k - \frac{1}{2} k = \frac{3}{2} k \). Por lo tanto, tenemos \( \sum_{i=1}^6 \frac{3}{2} k = 6 \cdot \frac{3}{2} k = 9k \). e. \( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2i) \): Podemos factorizar \( \frac{2}{n(n+1)} \) fuera de la suma, lo que resulta en \( \frac{2}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{n} i \). Utilizando la fórmula de suma, \( \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \), obtenemos \( \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 1 \). Así, las simplificaciones son: a. 120 b. -110 c. 255 d. 9k e. 1.
