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(4) \( \lim _{x \rightarrow-4} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x} \)

Ask by Ramirez Mullins. in the Philippines
Jan 30,2025

Solución de tutoría real

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The limit is \( -\frac{1}{16} \) or -0.0625.

Solución

Calculate the limit \( \lim_{x\rightarrow -4} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x} \). Evaluate the limit by following steps: - step0: Evaluate using L'Hopital's rule: \(\lim _{x\rightarrow -4}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}\right)\) - step1: Use the L'Hopital's rule: \(\lim _{x\rightarrow -4}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x}\right)}{\frac{d}{dx}\left(4+x\right)}\right)\) - step2: Find the derivative: \(\lim _{x\rightarrow -4}\left(\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{1}\right)\) - step3: Simplify the expression: \(\lim _{x\rightarrow -4}\left(\frac{-1}{x^{2}}\right)\) - step4: Rewrite the expression: \(\frac{-1}{\lim _{x\rightarrow -4}\left(x^{2}\right)}\) - step5: Calculate: \(\frac{-1}{16}\) - step6: Rewrite the fraction: \(-\frac{1}{16}\) The limit of the expression \( \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x} \) as \( x \) approaches -4 is \( -\frac{1}{16} \) or -0.0625.

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The Deep Dive

To compute the limit \( \lim _{x \rightarrow-4} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x} \), we start by substituting \( x = -4 \): Substituting \( x = -4 \) into the denominator gives: \[ 4 + (-4) = 0 \] This indicates the expression is undefined at \( x = -4 \). Next, we check the numerator: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{-4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \] Thus, we have a form \( \frac{0}{0} \), which suggests that we can simplify the function. Let's simplify \( \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{x}}{4+x} \): The numerator can be rewritten as: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{x} = \frac{x + 4}{4x} \] So the original expression becomes: \[ \frac{\frac{x + 4}{4x}}{4 + x} \] Now we can simplify this further: \[ = \frac{x + 4}{4x(4+x)} \] Now cancel \( x + 4 \) from the numerator and denominator: \[ = \frac{1}{4x} \text{ for } x \neq -4 \] Next, we calculate the limit: \[ \lim_{x \to -4} \frac{1}{4x} = \frac{1}{4 \cdot (-4)} = \frac{1}{-16} = -\frac{1}{16} \] Thus, the final answer is: \[ \boxed{-\frac{1}{16}} \]

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