Seja f a funtai de dominio TR depinida poér: $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{x} & \text { se } x \leqslant 0 \ x+1 & \text { se } x0 \end{array}\right. $$ a) Prove que $$ f $$ é derivável no ponto $$ x=0 $$. bl justifique oq $$ f $$ e'contínua no honto $$ x=0 $$.

Question

Seja f a funtai de dominio TR depinida poér: $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{x} & \text { se } x \leqslant 0 \ x+1 & \text { se } x>0 \end{array}\right. $$ a) Prove que $$ f $$ é derivável no ponto $$ x=0 $$. bl justifique oq $$ f $$ e'contínua no honto $$ x=0 $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar a função $$ f $$ dada por:

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{x} & \text { se } x \leqslant 0 \
x+1 & \text { se } x>0
\end{array}\right.
$$

### a) Provar que $$ f $$ é derivável no ponto $$ x=0 $$

Para que $$ f $$ seja derivável em $$ x=0 $$, precisamos verificar se o limite da definição da derivada existe nesse ponto. A derivada de $$ f $$ em $$ x=0 $$ é dada por:

$$
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}
$$

Primeiro, vamos calcular $$ f(0) $$:

$$
f(0) = e^{0} = 1
$$

Agora, precisamos considerar os limites laterais:

1. **Limite pela esquerda ($$ h \to 0^- $$)**:
   Para $$ h < 0 $$, temos $$ f(h) = e^{h} $$. Assim, o limite fica:

$$
   \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{e^{h} - 1}{h}
   $$

Usando a regra de L'Hôpital, já que a forma é $$ \frac{0}{0} $$:

$$
   = \lim_{h \to 0^-} \frac{e^{h}}{1} = e^{0} = 1
   $$

2. **Limite pela direita ($$ h \to 0^+ $$)**:
   Para $$ h > 0 $$, temos $$ f(h) = h + 1 $$. Assim, o limite fica:

$$
   \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(h + 1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1
   $$

Como os limites laterais são iguais, temos:

$$
f'(0) = 1
$$

Portanto, $$ f $$ é derivável em $$ x=0 $$.

### b) Justificar que $$ f $$ é contínua no ponto $$ x=0 $$

Para que $$ f $$ seja contínua em $$ x=0 $$, precisamos verificar se:

$$
\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)
$$

Já sabemos que $$ f(0) = 1 $$. Agora, vamos calcular o limite:

1. **Limite pela esquerda ($$ x \to 0^- $$)**:

$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{x} = e^{0} = 1
$$

2. **Limite pela direita ($$ x \to 0^+ $$)**:

$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 0 + 1 = 1
$$

Assim, temos:

$$
\lim_{x \to 0} f(x) = 1
$$

Como $$ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1 $$, podemos concluir que $$ f $$ é contínua em $$ x=0 $$.

### Resumo

- $$ f $$ é derivável em $$ x=0 $$ e $$ f'(0) = 1 $$.
- $$ f $$ é contínua em $$ x=0 $$.
A função $$ f $$ é derivável em $$ x=0 $$ e contínua nesse ponto.

Seja f a funtai de dominio TR depinida poér:

a) Prove que é derivável no ponto .
bl justifique oq e’contínua no honto .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

a) Provar que é derivável no ponto

b) Justificar que é contínua no ponto

Resumo

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Seja f a funtai de dominio TR depinida poér: a) Prove que é derivável no ponto . bl justifique oq e’contínua no honto .