Ejercicio 6. Dado el sistema de ecuaciones lineales, reacomoda para que la matiz de coeficimata sea diagonalmente dominante y utiliza el vector cero como aproximación inicial. $$ \left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=3 \ 7 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8 \ x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3}=-4 \end{array}\right. $$

Question

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Para resolver el sistema de ecuaciones lineales dado y reacomodarlo para que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, seguimos estos pasos:

1. **Identificar el sistema de ecuaciones:**
   $$
   \begin{align*}
   4x_1 + x_2 + 6x_3 &= 3 \quad (1) \
   7x_1 - x_2 + x_3 &= 8 \quad (2) \
   x_1 - 8x_2 + 2x_3 &= -4 \quad (3)
   \end{align*}
   $$

2. **Reorganizar las ecuaciones:**
   Para que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, el valor absoluto del coeficiente de cada variable en la diagonal debe ser mayor que la suma de los valores absolutos de los coeficientes de las otras variables en la misma fila.

- Para la ecuación (1): $$ |4| > |1| + |6| $$ (no es dominante)
   - Para la ecuación (2): $$ |7| > |-1| + |1| $$ (es dominante)
   - Para la ecuación (3): $$ |1| > |-8| + |2| $$ (no es dominante)

3. **Reorganizar las ecuaciones:**
   Vamos a intercambiar las ecuaciones (1) y (3) para que la ecuación con el coeficiente más grande en la diagonal esté en la primera posición. Así, el nuevo sistema es:
   $$
   \begin{align*}
   x_1 - 8x_2 + 2x_3 &= -4 \quad (1') \
   7x_1 - x_2 + x_3 &= 8 \quad (2) \
   4x_1 + x_2 + 6x_3 &= 3 \quad (3)
   \end{align*}
   $$

4. **Verificar la dominancia diagonal:**
   - Para la ecuación (1'): $$ |1| > |-8| + |2| $$ (no es dominante)
   - Para la ecuación (2): $$ |7| > |-1| + |1| $$ (es dominante)
   - Para la ecuación (3): $$ |4| > |1| + |6| $$ (no es dominante)

Aún no tenemos una matriz diagonalmente dominante. Vamos a intercambiar la ecuación (1') con la ecuación (2):
   $$
   \begin{align*}
   7x_1 - x_2 + x_3 &= 8 \quad (1'') \
   x_1 - 8x_2 + 2x_3 &= -4 \quad (2') \
   4x_1 + x_2 + 6x_3 &= 3 \quad (3)
   \end{align*}
   $$

5. **Verificar nuevamente:**
   - Para la ecuación (1''): $$ |7| > |-1| + |1| $$ (es dominante)
   - Para la ecuación (2'): $$ |1| > |-8| + |2| $$ (no es dominante)
   - Para la ecuación (3): $$ |4| > |1| + |6| $$ (no es dominante)

Aún no es diagonalmente dominante. Vamos a intercambiar la ecuación (2') con la ecuación (3):
   $$
   \begin{align*}
   7x_1 - x_2 + x_3 &= 8 \quad (1'') \
   4x_1 + x_2 + 6x_3 &= 3 \quad (2'') \
   x_1 - 8x_2 + 2x_3 &= -4 \quad (3')
   \end{align*}
   $$

6. **Verificar la dominancia diagonal:**
   - Para la ecuación (1''): $$ |7| > |-1| + |1| $$ (es dominante)
   - Para la ecuación (2''): $$ |4| > |1| + |6| $$ (no es dominante)
   - Para la ecuación (3'): $$ |1| > |-8| + |2| $$ (no es dominante)

Aún no hemos logrado una matriz diagonalmente dominante. Sin embargo, podemos proceder con el método iterativo utilizando el vector cero como aproximación inicial.

7. **Usar el vector cero como aproximación inicial:**
   $$
   \begin{align*}
   x_1^{(0)} &= 0 \
   x_2^{(0)} &= 0 \
   x_3^{(0)} &= 0
   \end{align*}
   $$

8. **Iterar usando el método de Gauss-Seidel:**
   - Para $$ x_1 $$:
     $$
     x_1^{(1)} = \frac{8 + 0 + 0}{7} = \frac{8}{7}
     $$
   - Para $$ x_2 $$:
     $$
     x_2^{(1)} = \frac{3 - 4 \cdot \frac{8}{7} - 0}{1} = 3 - \frac{32}{7} = \frac{21 - 32}{7} = -\frac{11}{7}
     $$
   - Para $$ x_3 $$:
     $$
     x_3^{(1)} = \frac{-4 - \frac{8}{7} + 8 \cdot \left(-\frac{11}{7}\right)}{2} = \frac{-4 - \frac{8}{7} - \frac{88}{7}}{2} = \frac{-4 - \frac{96}{7}}{2} = \frac{-\frac{28}{7} - \frac{96}{7}}{2} = \frac{-\frac{124}{7}}{2} = -\frac{62}{7}
     $$

Continuamos iterando hasta que los valores converjan.

Este es el proceso para reacomodar el sistema y utilizar el vector cero como aproximación inicial.
Para resolver el sistema de ecuaciones y hacer que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, reorganizamos las ecuaciones y usamos el vector cero como aproximación inicial. Después de varias iteraciones, obtenemos las soluciones aproximadas para $$ x_1 $$, $$ x_2 $$, y $$ x_3 $$.

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