4.2) Gonsidere a funçāo que -g, definida am TR por: $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3-\sqrt{1-x} & \text { se } x \leqslant 0 \ e^{\frac{x}{2}} \div 1 & \text { se } x0 \end{array}\right. $$ a) Mostre que g e'uma funcāo contínua no ponto $$ x=0 $$ b) Verifique se existe derivada da funcaio g no ponto.

Question

4.2) Gonsidere a funçāo que -g, definida am TR por: $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3-\sqrt{1-x} & \text { se } x \leqslant 0 \ e^{\frac{x}{2}} \div 1 & \text { se } x>0 \end{array}\right. $$ a) Mostre que g e'uma funcāo contínua no ponto $$ x=0 $$ b) Verifique se existe derivada da funcaio g no ponto.

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Para resolver o problema, vamos analisar a função $$ g(x) $$ dada por:

$$
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
3-\sqrt{1-x} & \text { se } x \leqslant 0 \
e^{\frac{x}{2}} \div 1 & \text { se } x>0
\end{array}\right.
$$

### a) Mostrar que $$ g $$ é uma função contínua no ponto $$ x=0 $$

Para que a função $$ g $$ seja contínua em $$ x=0 $$, precisamos verificar se:

$$
\lim_{x \to 0^-} g(x) = g(0) = \lim_{x \to 0^+} g(x)
$$

1. **Calcular $$ g(0) $$**:
   Como $$ 0 \leq 0 $$, usamos a primeira parte da função:
   $$
   g(0) = 3 - \sqrt{1-0} = 3 - 1 = 2
   $$

2. **Calcular $$ \lim_{x \to 0^-} g(x) $$**:
   Para $$ x \to 0^- $$, ainda usamos a primeira parte da função:
   $$
   \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (3 - \sqrt{1-x}) = 3 - \sqrt{1-0} = 3 - 1 = 2
   $$

3. **Calcular $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) $$**:
   Para $$ x \to 0^+ $$, usamos a segunda parte da função:
   $$
   \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{x}{2}} = e^{0} = 1
   $$

Agora, temos:

- $$ g(0) = 2 $$
- $$ \lim_{x \to 0^-} g(x) = 2 $$
- $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1 $$

Como $$ \lim_{x \to 0^-} g(x) \neq \lim_{x \to 0^+} g(x) $$, concluímos que $$ g $$ não é contínua em $$ x=0 $$.

### b) Verificar se existe derivada da função $$ g $$ no ponto $$ x=0 $$

Para que a derivada exista em $$ x=0 $$, precisamos que o limite da taxa de variação da função exista:

$$
g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}
$$

1. **Para $$ h \to 0^- $$**:
   Usamos a primeira parte da função:
   $$
   g(h) = 3 - \sqrt{1-h}
   $$
   Então, temos:
   $$
   g'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(3 - \sqrt{1-h}) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - \sqrt{1-h}}{h}
   $$

Para calcular esse limite, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada:
   $$
   g'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1 - \sqrt{1-h})(1 + \sqrt{1-h})}{h(1 + \sqrt{1-h})} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - (1-h)}{h(1 + \sqrt{1-h})} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h(1 + \sqrt{1-h})} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1 + \sqrt{1-h}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
   $$

2. **Para $$ h \to 0^+ $$**:
   Usamos a segunda parte da função:
   $$
   g(h) = e^{\frac{h}{2}}
   $$
   Então, temos:
   $$
   g'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{\frac{h}{2}} - 2}{h}
   $$
   Usando a definição de derivada:
   $$
   g'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{\frac{h}{2}} - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{\frac{h}{2}} - 1}{\frac{h}{2}} \cdot \frac{2}{1} = 2 \cdot \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{\frac{h}{2}} - 1}{\frac{h}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
   $$

Como $$ g'(0) $$ para $$ h \to 0^- $$ é $$ \frac{1}{2} $$ e para $$ h \to 0^+ $$ é $$ 1 $$, concluímos que a derivada não existe em $$ x=0 $$.

### Resumo:
- $$ g $$ não é contínua em $$ x=0 $$.
- A derivada de $$ g $$ não existe em $$ x=0 $$.
A função $$ g(x) $$ não é contínua em $$ x=0 $$ e não possui derivada nesse ponto.

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