Exercice 4: \( \begin{array}{l}\text { On considère la courbe }(C) \text { d'équation: } \\ x=\operatorname{sint} \times \operatorname{cost} \\ y=\cos ^{2} t \quad t \in[0, \pi / 2] \\ z=\operatorname{sint} \\ \text { Déterminer le repère de Frenet, la courbure et la torsion en un point } M(t)\end{array} \)

Pour déterminer le repère de Frenet, la courbure et la torsion en un point \( M(t) \) de la courbe donnée, nous commençons par définir le vecteur position paramétrique \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\). Avec \( x(t) = \sin(t) \cos(t) \), \( y(t) = \cos^2(t) \), et \( z(t) = \sin(t) \), nous calculons d'abord la dérivée première \(\mathbf{r}'(t)\) et la dérivée seconde \(\mathbf{r}''(t)\). Après avoir trouvé ces dérivées, nous pouvons établir le vecteur tangent unitaire \(\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{||\mathbf{r}'(t)||}\) et le vecteur normal unitaire \(\mathbf{N}(t)\) ainsi que le vecteur binormal \(\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)\). Le repère de Frenet est alors \((\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B})\). La courbure \(\kappa\) est donnée par la formule \(\kappa = \frac{||\mathbf{T}'(t)||}{||\mathbf{r}'(t)||}\), et la torsion \(\tau\) est déterminée avec la formule \(\tau = \frac{(\mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)) \cdot \mathbf{B}'(t)}{||\mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)||^2}\). Ces étapes vous permettront de trouver le repère de Frenet, ainsi que les valeurs de la courbure et de la torsion en un point donné \(M(t)\) sur la courbe.