(3) Die Parabel $$ p $$ besitzt den Scheitel $$ S(3 \mid 8) $$ und der Punkt $$ C(6 \mid 7) $$ liegt auf der Parabel. Sie hat eine Gleichung der Form $$ y=a x^{2}+b x+c $$ mit $$ a \in \mathbb{R} \backslash\{0\} $$ und $$ b, c, x, y \in \mathbb{R} $$. 3.1 Zeigen Sie durch Berechnung, dass die Parabel $$ p $$ die Gleichung $$ y=-\frac{1}{9} x^{2}+\frac{2}{3} x+ $$ hat. Zeichnen Sie die Parabel p für $$ x \in[0 ; 13] $$ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit $$ 1 \mathrm{~cm} ; 0 \leq x \leq 12 ; 0 \leq y \leq 9 $$

Question

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**3.1 Berechnung der Parabelgleichung**

Gegeben ist die Parabel $$ p $$ mit dem Scheitelpunkt $$ S(3 \mid 8) $$ und dem Punkt $$ C(6 \mid 7) $$, der auf der Parabel liegt. Die allgemeine Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt $$ S(h \mid k) $$ lautet:

$$
y = a(x - h)^2 + k
$$

Setzen wir die gegebenen Werte $$ h = 3 $$ und $$ k = 8 $$ ein:

$$
y = a(x - 3)^2 + 8
$$

**Bestimmung des Koeffizienten $$ a $$:**

Da der Punkt $$ C(6 \mid 7) $$ auf der Parabel liegt, erfüllt er die Parabelgleichung. Setzen wir $$ x = 6 $$ und $$ y = 7 $$ ein:

$$
7 = a(6 - 3)^2 + 8
$$
$$
7 = a \cdot 9 + 8
$$
$$
7 - 8 = 9a
$$
$$
-1 = 9a
$$
$$
a = -\frac{1}{9}
$$

**Einsetzen von $$ a $$ in die Parabelgleichung:**

$$
y = -\frac{1}{9}(x - 3)^2 + 8
$$

**Ausmultiplizieren der Gleichung:**

$$
y = -\frac{1}{9}(x^2 - 6x + 9) + 8
$$
$$
y = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{6}{9}x - \frac{9}{9} + 8
$$
$$
y = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{3}x - 1 + 8
$$
$$
y = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{3}x + 7
$$

Damit haben wir gezeigt, dass die Parabel $$ p $$ die Gleichung

$$
y = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{3}x + 7
$$

hat.

**Zeichnung der Parabel im Koordinatensystem**

**Schritte zur Zeichnung:**

1. **Koordinatensystem aufbauen:**
   - Längeneinheit: $$ 1 \, \text{cm} $$
   - $$ x $$-Achse: $$ 0 \leq x \leq 12 $$
   - $$ y $$-Achse: $$ 0 \leq y \leq 9 $$

2. **Punkte eintragen:**
   - **Scheitelpunkt $$ S(3 \mid 8) $$:** Markiere den Punkt bei $$ x = 3 $$ und $$ y = 8 $$.
   - **Weitere Punkte berechnen:**
     - Zum Beispiel für $$ x = 0 $$:
       $$
       y = -\frac{1}{9}(0)^2 + \frac{2}{3}(0) + 7 = 7
       $$
       Punkt $$ (0 \mid 7) $$.
     - Für $$ x = 6 $$:
       $$
       y = -\frac{1}{9}(6)^2 + \frac{2}{3}(6) + 7 = -\frac{36}{9} + 4 + 7 = -4 + 4 + 7 = 7
       $$
       Punkt $$ (6 \mid 7) $$.
     - Für $$ x = 9 $$:
       $$
       y = -\frac{1}{9}(9)^2 + \frac{2}{3}(9) + 7 = -\frac{81}{9} + 6 + 7 = -9 + 6 + 7 = 4
       $$
       Punkt $$ (9 \mid 4) $$.

3. **Parabel zeichnen:**
   - Verbinde die Punkte geschwungen, sodass die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt $$ S(3 \mid 8) $$ ist.

**Skizze der Parabel:**

```
y
|
9|                     
8|         S(3,8)      
7|  C(6,7)    (0,7)     
6|
5|
4|               (9,4)  
3|
2|
1|
0|________________________ x
   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
```

*Hinweis: Die tatsächliche Zeichnung sollte in einem Koordinatensystem mit den angegebenen Maßstäben erfolgen, um eine genaue Darstellung der Parabel zu gewährleisten.*
Die Parabel $$ p $$ hat die Gleichung $$ y = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{3}x + 7 $$. Sie besitzt den Scheitelpunkt $$ S(3 \mid 8) $$ und den Punkt $$ C(6 \mid 7) $$ auf ihrer Kurve.

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