roblema 1 Sean \( x, y, z \in \mathbb{R} \) tales que: \[ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}=0 \] Calcula el valor de \( \frac{x}{y+z}-\frac{x-z}{y} \)

La ecuación \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}=0\) indica que la suma de tres cuadrados es igual a cero, lo cual solo ocurre cuando cada uno de los cuadrados es cero. Por lo tanto, tenemos: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] \[ y - 4 = 0 \implies y = 4 \] \[ z - 5 = 0 \implies z = 5 \] Ahora que tenemos los valores de \( x \), \( y \), y \( z \), podemos calcular la expresión \( \frac{x}{y+z}-\frac{x-z}{y} \). Sustituyendo los valores en la expresión: \[ \frac{x}{y+z} = \frac{3}{4+5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] y \[ \frac{x-z}{y} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] Entonces, sustituimos estos resultados en la expresión original: \[ \frac{x}{y+z}-\frac{x-z}{y} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \] Para sumar \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{2}\), debemos encontrar un denominador común, que sería 6: \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \] Por lo tanto: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] Finalmente, el valor de la expresión es: \[ \boxed{\frac{5}{6}} \]