\( y ^ { \prime } + 1 = \frac { ( x + y ) ^ { m } } { ( x + y ) ^ { \prime \prime } + ( x + y ) ^ { p } } \)

Presentamos la ecuación tal y como se indica:   y′ + 1 = (x + y)ᵐ ⁄ [(x + y)″ + (x + y)ᵖ]. Una forma útil de analizar esta ecuación es efectuar la siguiente sustitución:   Sea u = x + y. Observa que, al derivar, tenemos:   u′ = d/dx (x + y) = 1 + y′     (1)   u″ = d²/dx² (x + y) = 0 + y″ = y″   (2) Así, la ecuación original, escrita en términos de y′ y y″, puede reinterpretarse en función de u. En efecto, de la ecuación (1) se deduce que:   y′ = u′ − 1. Sustituyendo este resultado en la ecuación original se obtiene:   (u′ − 1) + 1 = (u)ᵐ ⁄ [u″ + uᵖ], lo que simplifica a:   u′ = uᵐ ⁄ (u″ + uᵖ). Multiplicando ambos lados del último igual por (u″ + uᵖ) se tiene:   u′·(u″ + uᵖ) = uᵐ. Esta transformación ofrece una nueva visión de la ecuación en la que la función u está relacionada con su primera y segunda derivada. Dependiendo del valor de los parámetros m y p, así como de la forma de la ecuación, podrían emplearse métodos específicos para estudiar la existencia, unicidad o, en ciertos casos, buscar una solución explícita. Si deseas profundizar en algún aspecto de esta ecuación, como su solución para determinados valores de m y p o la aplicación de técnicas particulares, por favor indícalo.