Para resolver el siguiente integral mediante las reglas para integrar potencias trigonométricas, (8 puntos) $$ \begin{array}{l} ext { Indica cuál de las siguientes corresponde a la } \ ext { sustitución necesaria para resolver el integral }\end{array} $$ $$ \begin{array}{lll} ext { A. } d u=\operatorname{sen}(x) d x & \begin{array}{l} ext { Indica cuál de las siguientes identidades es necesaria para } \ ext { resolver el integral }\end{array} \ ext { B. } d u=\cos (x) d x & ext { A. } \sin ^{2} heta=\frac{1-\cos 2 heta}{2} \ ext { C. } d u=\sec \sin ^{2}(x) d x & ext { B. } \cos ^{2} heta=\frac{1+\cos 2 heta}{2} \ ext { D. } d u=\sec (x) an (x) d x & ext { C. } \cos ^{2} heta+\sin ^{2} heta=1 \ ext { E. } d u=d x & ext { D. } an ^{2} heta+1=\sec ^{2} heta \ ext { F. } d u= an (x) d x & ext { E. } \cot ^{2} heta+1=\csc ^{2} heta \ ext { G. No } \operatorname{se} ext { utiliza sustitución }\end{array} $$

Question

Para resolver el siguiente integral mediante las reglas para integrar potencias trigonométricas, (8 puntos) $$ \begin{array}{l}	ext { Indica cuál de las siguientes corresponde a la } \ 	ext { sustitución necesaria para resolver el integral }\end{array} $$ $$ \begin{array}{lll}	ext { A. } d u=\operatorname{sen}(x) d x & \begin{array}{l}	ext { Indica cuál de las siguientes identidades es necesaria para } \ 	ext { resolver el integral }\end{array} \ 	ext { B. } d u=\cos (x) d x & 	ext { A. } \sin ^{2} 	heta=\frac{1-\cos 2 	heta}{2} \ 	ext { C. } d u=\sec \sin ^{2}(x) d x & 	ext { B. } \cos ^{2} 	heta=\frac{1+\cos 2 	heta}{2} \ 	ext { D. } d u=\sec (x) 	an (x) d x & 	ext { C. } \cos ^{2} 	heta+\sin ^{2} 	heta=1 \ 	ext { E. } d u=d x & 	ext { D. } 	an ^{2} 	heta+1=\sec ^{2} 	heta \ 	ext { F. } d u=	an (x) d x & 	ext { E. } \cot ^{2} 	heta+1=\csc ^{2} 	heta \ 	ext { G. No } \operatorname{se} 	ext { utiliza sustitución }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

$$ \textbf{Sustitución:} $$  
La técnica clásica para integrar potencias de secante consiste en multiplicar y dividir por un factor de $$\sec(x)\tan(x)$$ y utilizar la derivada de $$\sec(x)$$, ya que  
$$
\frac{d}{dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x).
$$
Por ello se hace el cambio de variable  
$$
u=\sec(x) \quad \Longrightarrow \quad du=\sec(x)\tan(x)\,dx,
$$
lo que corresponde a la opción D.

$$ \textbf{Identidad:} $$  
En integrales de potencias de secante es habitual expresar factores en términos de $$\tan(x)$$ utilizando la identidad  
$$
\tan^2(x)+1=\sec^2(x),
$$
la cual permite reducir la integral a una forma integrable. Esto corresponde a la opción D en la lista de identidades.

Por lo tanto, la sustitución necesaria es  
$$
du=\sec(x)\tan(x)\, dx,
$$
y la identidad útil es  
$$
\tan^2\theta + 1=\sec^2\theta.
$$
La sustitución necesaria es $$ du = \sec(x) \tan(x) \, dx $$ y la identidad útil es $$ \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta $$.

Para resolver el siguiente integral mediante las reglas para integrar potencias trigonométricas, (8 puntos)
$á ó$
$á ó$

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Para resolver el siguiente integral mediante las reglas para integrar potencias trigonométricas, (8 puntos) áó áó