25 Resuelve la ecuación \( \log _{5} x-\log _{25}(x+6)=0 \)

Para resolver la ecuación \( \log _{5} x-\log _{25}(x+6)=0 \), primero recordemos que \( \log_{25}(x+6) \) se puede reescribir en términos de base 5. Dado que \( 25 = 5^2\), tenemos: \[ \log_{25}(x+6) = \frac{\log_{5}(x+6)}{\log_{5}(25)} = \frac{\log_{5}(x+6)}{2} \] Ahora podemos sustituir esto en la ecuación: \[ \log_{5} x - \frac{\log_{5}(x+6)}{2} = 0 \] Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar el denominador: \[ 2\log_{5} x - \log_{5}(x+6) = 0 \] Reescribimos: \[ 2\log_{5} x = \log_{5}(x+6) \] Utilizando la propiedad de los logaritmos que dice que \( a \log_b c = \log_b(c^a) \): \[ \log_{5}(x^2) = \log_{5}(x + 6) \] Ya que los logaritmos son iguales, podemos establecer que sus argumentos son iguales: \[ x^2 = x + 6 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Factorizamos la ecuación cuadrática: \[ (x - 3)(x + 2) = 0 \] Por lo tanto, tenemos las soluciones: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] Sin embargo, \( x \) debe ser positivo ya que se usa en un logaritmo. Entonces la única solución válida es \( x = 3 \). Por lo tanto, la solución de la ecuación es \( x = 3 \).