4. กำหนด $$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=420 $$ จงหา $$ \begin{array}{ll} ext { ก. } 7 & ext { ข. } 11 \ ext { ค. } 20 & ext { ง. } 21\end{array} $$

Question

4. กำหนด $$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=420 $$ จงหา $$ \begin{array}{ll}	ext { ก. } 7 & 	ext { ข. } 11 \ 	ext { ค. } 20 & 	ext { ง. } 21\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

ให้เริ่มจากพิจารณาสัญลักษณ์ $$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} $$

เนื่องจาก
$$
(n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)!
$$
ดังนั้น
$$
\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1) \times n
$$

โจทย์ให้ว่า
$$
(n+1) \times n = 420
$$

นำสมการข้างต้นเขียนใหม่เป็นสมการกำลังสอง
$$
n^2 + n - 420 = 0
$$

หาค่า discriminant:
$$
\Delta = 1^2 - 4(1)(-420) = 1 + 1680 = 1681
$$
โดยที่
$$
\sqrt{1681} = 41
$$

ใช้สูตรการแก้สมการกำลังสอง
$$
n = \frac{-1 \pm 41}{2}
$$

เนื่องจาก $$ n $$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก
$$
n = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20
$$

ดังนั้นค่า $$ n $$ คือ $$ 20 $$ ซึ่งตรงกับข้อ "ค. 20"
$$ n = 20 $$, ซึ่งตรงกับข้อ ค. 20

4. กำหนด \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=420 \) จงหา \( \begin{array}{ll}\text { ก. } 7 & \text { ข. } 11 \\ \text { ค. } 20 & \text { ง. } 21\end{array} \)