a جد قيمتr $$ \int_{a}^{4} 3 x \sqrt{x^{2}+9} d x=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لنحسب التكامل:

$$
\int_{a}^{4} 3x \sqrt{x^2+9}\,dx=0
$$

أولاً، نحسب التكامل غير المحدود:

نعتبر $$ F(x) $$ دالة الأصل لـ$$ 3x\sqrt{x^2+9} $$. للتعويض، نضع:

$$
u=x^2+9,\quad \text{إذاً} \quad \frac{du}{dx}=2x \quad \Rightarrow \quad x\,dx=\frac{du}{2}.
$$

وبذلك يُصبح:

$$
\int 3x\sqrt{x^2+9}\,dx = \int 3\sqrt{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{3}{2}\int\sqrt{u}\,du.
$$

نحسب التكامل:

$$
\int \sqrt{u}\,du = \int u^{\frac{1}{2}}du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C.
$$

فيكون:

$$
\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} = u^{\frac{3}{2}}+C = \left(x^2+9\right)^{\frac{3}{2}}+C.
$$

إذاً:

$$
F(x)=\left(x^2+9\right)^{\frac{3}{2}}.
$$

نعود للتكامل المحدود:

$$
\int_{a}^{4} 3x \sqrt{x^2+9}\,dx = F(4)-F(a)=\left(4^2+9\right)^{\frac{3}{2}}-\left(a^2+9\right)^{\frac{3}{2}}.
$$

حيث أن:

$$
4^2+9=16+9=25,
$$

فيكون:

$$
\left(25\right)^{\frac{3}{2}}=125.
$$

وبما أن التكامل يساوي صفر:

$$
125-\left(a^2+9\right)^{\frac{3}{2}}=0.
$$

هذا يعني:

$$
\left(a^2+9\right)^{\frac{3}{2}}=125.
$$

للتخلص من الأس المُرتفع $$ \frac{3}{2} $$ نرفع الطرفين إلى القوة $$ \frac{2}{3} $$:

$$
a^2+9=125^{\frac{2}{3}}.
$$

ملاحظة أن:

$$
125^{\frac{2}{3}}=\left(125^{\frac{1}{3}}\right)^2=5^2=25.
$$

إذاً:

$$
a^2+9=25 \quad \Rightarrow \quad a^2=25-9=16.
$$

وختاماً:

$$
a=\pm 4.
$$

ومن هنا نجد الحلول:
- $$ a=4 $$، وهو حل تافه لأن التكامل من $$4$$ إلى $$4$$ يكون $$0$$ تلقائياً.
- $$ a=-4 $$، وهو الحل غير التافه.

إذا كان المطلوب إيجاد قيمة $$a$$ غير الحد العلوي $$4$$ فإن القيمة المطلوبة هي:

$$
a=-4.
$$
$$ a = -4 $$

a جد قيمتr \( \int_{a}^{4} 3 x \sqrt{x^{2}+9} d x=0 \)