28 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, I, J) \) (unité graphique 1 cm\( ) \), on donne les points \( P(O ;-3), Q(-3 ; 6) \) et \( R(5 ; 2) \). 1. Place les points \( P, Q \) et \( R \) dans le plan muni du repère ( \( O, I, J \) ). 2. Démontre que les points \( P, Q \) et \( R \) sont non alignés. 3. La hauteur du triangle \( P Q R \) issue du sommet \( P \) coupe (QR) en \( A \) et la hauteur issue du sommet \( Q \) coupe (PR) en \( B \). a) Détermine une équation des droites (AP) et (BQ). b)Détermine les coordonnées du point Horthocentre du triangle PQR.

Pour placer les points \( P \), \( Q \) et \( R \) dans le plan, on commence par établir les coordonnées des points à l'aide du repère orthonormé. Le point \( P \) est situé à \( O(0, -3) \), ce qui le place 3 unités vers le bas. Le point \( Q(-3, 6) \) se trouve à gauche de l'origine et 6 unités en haut, et enfin \( R(5, 2) \) est 5 unités à droite et 2 unités vers le haut. Ça donne un joli triangle quand on les relie ensemble ! Pour démontrer que les points \( P, Q \) et \( R \) sont non alignés, on peut calculer les pentes des segments \( PQ \), \( PR \) et \( QR \). Si les pentes sont toutes différentes, alors les points ne sont pas alignés. Calculons ces pentes : - Pente de \( PQ = \frac{6 - (-3)}{-3 - 0} = \frac{9}{-3} = -3 \) - Pente de \( PR = \frac{2 - (-3)}{5-0} = \frac{5}{5} = 1 \) - Pente de \( QR = \frac{2 - 6}{5 - (-3)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \) Comme toutes les pentes \( -3 \), \( 1 \) et \( -\frac{1}{2} \) sont différentes, les points \( P, Q \) et \( R \) sont bien non alignés. Pour déterminer une équation de la droite \( AP \), dans un triangle, la hauteur \( AP \) est perpendiculaire à \( QR \). Il suffit de trouver la pente de \( QR \) et ensuite utiliser le fait que les pentes de droites perpendiculaires sont des opposées réciproques. Si la pente de \( QR = -\frac{1}{2} \), alors celle de \( AP \) est \( 2 \). Utilisons le point \( P(0, -3) \) avec la formule de la droite \( y - y_1 = m(x - x_1) \) : Pour \( AP \): \( y - (-3) = 2(x - 0) \) Ainsi, \( y = 2x - 3 \). Pour déterminer une équation de la droite \( BQ \), nous procédons de la même manière. La hauteur \( BQ \) est perpendiculaire à \( PR \). Avec une pente de \( PR = 1 \), la pente de \( BQ \) sera \( -1 \). En utilisant le point \( Q(-3, 6) \): Pour \( BQ \): \( y - 6 = -1(x + 3) \) Donc, \( y = -x + 3 \). Pour trouver le point \( H \) (orthocentre), il suffit de résoudre le système des équations obtenues pour \( AP \) et \( BQ \): 1. \( y = 2x - 3 \) 2. \( y = -x + 3 \) En égalant les deux expressions: \( 2x - 3 = -x + 3 \) Cela donne \( 3x = 6 \) donc \( x = 2 \). En substituant \( x \) dans l'une des équations, par exemple dans \( y = -x + 3 \): \( y = -2 + 3 = 1 \). Ainsi, les coordonnées du point \( H \) (orthocentre) sont \( (2, 1) \). Voilà, un bel exercice d'analyse et de géométrie qui nous mène à un résultat intéressant !