Dada \( f(x)=x|x-3| \) (a) Exprese a \( f(x) \) como nna función a trozos. (b) Fricuentre los puntos críticus de la función y determine en cuáles de ellos la función tiene un extremo local.

Para resolver el problema, sigamos los pasos indicados: ### (a) Expresar \( f(x) \) como una función a trozos La función dada es \( f(x) = x|x-3| \). Para expresar esta función como una función a trozos, necesitamos considerar el valor absoluto \( |x-3| \). Esto se puede descomponer en dos casos: 1. **Caso 1:** \( x - 3 \geq 0 \) (es decir, \( x \geq 3 \)) - En este caso, \( |x-3| = x-3 \). - Por lo tanto, \( f(x) = x(x-3) = x^2 - 3x \). 2. **Caso 2:** \( x - 3 < 0 \) (es decir, \( x < 3 \)) - En este caso, \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \). - Por lo tanto, \( f(x) = x(3-x) = 3x - x^2 \). Así que podemos escribir \( f(x) \) como una función a trozos: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x & \text{si } x \geq 3 \\ 3x - x^2 & \text{si } x < 3 \end{cases} \] ### (b) Encontrar los puntos críticos de la función y determinar en cuáles de ellos la función tiene un extremo local Para encontrar los puntos críticos, necesitamos calcular la derivada de \( f(x) \) en ambos casos y luego igualarla a cero. 1. **Derivada para \( x \geq 3 \):** \[ f(x) = x^2 - 3x \] \[ f'(x) = 2x - 3 \] Igualamos a cero: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] Sin embargo, \( \frac{3}{2} < 3 \), por lo que no es un punto crítico en este intervalo. 2. **Derivada para \( x < 3 \):** \[ f(x) = 3x - x^2 \] \[ f'(x) = 3 - 2x \] Igualamos a cero: \[ 3 - 2x = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] Este valor está en el intervalo \( x < 3 \), por lo que es un punto crítico. 3. **Punto crítico en \( x = 3 \):** También debemos considerar el punto donde cambia la definición de la función, que es \( x = 3 \). Ahora evaluamos la derivada en los puntos críticos: - Para \( x = \frac{3}{2} \): \[ f'(\frac{3}{2}) = 3 - 2(\frac{3}{2}) = 3 - 3 = 0 \] - Para \( x = 3 \): Evaluamos la derivada en ambos lados: - Para \( x < 3 \): \( f'(x) = 3 - 2x \) y al acercarnos a 3 desde la izquierda, \( f'(3^-) = 3 - 6 = -3 \) (negativo). - Para \( x \geq 3 \): \( f'(x) = 2x - 3 \) y al acercarnos a 3 desde la derecha, \( f'(3^+) = 6 - 3 = 3 \) (positivo). ### Conclusión - El punto crítico \( x = \frac{3}{2} \) es un extremo local porque cambia de positivo a negativo. - En \( x = 3 \), la función tiene un cambio de pendiente de negativo a positivo, lo que indica que también es un extremo local. Por lo tanto, los puntos críticos son: - \( x = \frac{3}{2} \) (máximo local) - \( x = 3 \) (mínimo local)