Data la parabola di equazione \( y=k x^{2}-2(k+1) x+k-2 \), determina per quali valori del parametro \( k \) : \( \begin{array}{ll}\text { a. passa per il punto } P(-2,1) ; & \text { b. non interseca l'asse } x \text { in alcun punto. }\end{array}\left[\begin{array}{l}\text { a. } k=-\frac{1}{9} ; b . k<-1\end{array}\right. \) Data la parabola di equazione \( y=x^{2}-(2 k+1) x+k \) determina ner auale valore di \( k \) interseca l'asse \( x \) in

Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo. ### Parte a: Determinare i valori di \( k \) per cui la parabola passa per il punto \( P(-2,1) \) La parabola è data dall'equazione: \[ y = k x^{2} - 2(k+1) x + k - 2 \] Sostituiamo le coordinate del punto \( P(-2, 1) \) nell'equazione della parabola: \[ 1 = k(-2)^{2} - 2(k+1)(-2) + k - 2 \] Calcoliamo i termini: \[ 1 = 4k + 4(k+1) + k - 2 \] Semplifichiamo l'equazione: \[ 1 = 4k + 4k + 4 + k - 2 \] \[ 1 = 9k + 2 \] Ora isoliamo \( k \): \[ 9k = 1 - 2 \] \[ 9k = -1 \] \[ k = -\frac{1}{9} \] ### Parte b: Determinare i valori di \( k \) per cui la parabola non interseca l'asse \( x \) Per determinare quando la parabola non interseca l'asse \( x \), dobbiamo analizzare il discriminante dell'equazione quadratica. L'equazione è: \[ y = k x^{2} - 2(k+1) x + k - 2 \] Il discriminante \( D \) è dato da: \[ D = b^{2} - 4ac \] dove \( a = k \), \( b = -2(k+1) \), e \( c = k - 2 \). Calcoliamo il discriminante: \[ D = [-2(k+1)]^{2} - 4(k)(k-2) \] \[ D = 4(k+1)^{2} - 4k(k-2) \] Semplifichiamo: \[ D = 4[(k+1)^{2} - k(k-2)] \] \[ = 4[k^{2} + 2k + 1 - (k^{2} - 2k)] \] \[ = 4[k^{2} + 2k + 1 - k^{2} + 2k] \] \[ = 4[4k + 1] \] Affinché la parabola non intersechi l'asse \( x \), il discriminante deve essere minore di zero: \[ 4(4k + 1) < 0 \] Dividiamo per 4: \[ 4k + 1 < 0 \] \[ 4k < -1 \] \[ k < -\frac{1}{4} \] ### Risultati finali - **a.** La parabola passa per il punto \( P(-2,1) \) quando \( k = -\frac{1}{9} \). - **b.** La parabola non interseca l'asse \( x \) in alcun punto quando \( k < -\frac{1}{4} \). ### Seconda parte: Determinare i valori di \( k \) per cui la parabola interseca l'asse \( x \) La parabola è data dall'equazione: \[ y = x^{2} - (2k + 1)x + k \] Per trovare i valori di \( k \) per cui la parabola interseca l'asse \( x \), dobbiamo calcolare il discriminante: \[ D = b^{2} - 4ac \] dove \( a = 1 \), \( b = -(2k + 1) \), e \( c = k \): \[ D = [-(2k + 1)]^{2} - 4(1)(k) \] \[ = (2k + 1)^{2} - 4k \] Semplifichiamo: \[ D = 4k^{2} + 4k + 1 - 4k \] \[ = 4k^{2} + 1 \] Affinché la parabola intersechi l'asse \( x \), il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: \[ 4k^{2} + 1 \geq 0 \] Poiché \( 4k^{2} \) è sempre maggiore o uguale a zero, l'equazione è sempre vera per ogni valore di \( k \). Quindi, la parabola interseca sempre l'asse \( x \) per ogni valore di \( k \). ### Risultato finale La parabola interseca l'asse \( x \) per ogni valore di \( k \).