Pregunta
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Which expression is equivalent to the following complex fraction? \( \frac{\frac{x}{x-3}}{\frac{x^{2}}{x^{2}-9}} \)

Ask by Brooks Guerrero. in the United States
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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The expression simplifies to \( \frac{x+3}{x} \).

Solución

\[ \textbf{Step 1: Write the complex fraction as a division.} \] \[ \frac{\frac{x}{x-3}}{\frac{x^2}{x^2-9}} = \frac{x}{x-3} \div \frac{x^2}{x^2-9} \] \[ \textbf{Step 2: Replace the division with multiplication by the reciprocal.} \] \[ \frac{x}{x-3} \times \frac{x^2-9}{x^2} \] \[ \textbf{Step 3: Factor the expression in the numerator where appropriate.} \] Notice that: \[ x^2-9 = (x-3)(x+3) \] Thus, the expression becomes: \[ \frac{x}{x-3} \times \frac{(x-3)(x+3)}{x^2} \] \[ \textbf{Step 4: Cancel the common factor \((x-3)\).} \] \[ \frac{x}{\cancel{x-3}} \times \frac{\cancel{x-3}(x+3)}{x^2} = \frac{x(x+3)}{x^2} \] \[ \textbf{Step 5: Simplify by cancelling a factor of \(x\) from the numerator and denominator.} \] \[ \frac{x(x+3)}{x^2} = \frac{x+3}{x} \quad \text{(assuming \(x \neq 0\))} \] \[ \textbf{Final Answer:} \] \[ \frac{x+3}{x} \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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The Deep Dive

To simplify the complex fraction \( \frac{\frac{x}{x-3}}{\frac{x^{2}}{x^{2}-9}} \), you can multiply by the reciprocal of the denominator. This gives us: \[ \frac{x}{x-3} \times \frac{x^{2}-9}{x^{2}}. \] Now, recognize that \( x^{2}-9 \) can be factored using the difference of squares: \[ x^{2}-9 = (x-3)(x+3). \] So, the expression becomes: \[ \frac{x \cdot (x-3)(x+3)}{(x-3)(x^{2})}. \] You can cancel \( (x-3) \) from the numerator and denominator (as long as \( x \neq 3 \)), leading to: \[ \frac{x(x+3)}{x^{2}}. \] This simplifies to: \[ \frac{x + 3}{x} \quad \text{for } x \neq 3. \] Thus, the expression \( \frac{x + 3}{x} \) is the simplified version of the given complex fraction.

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