4. กำหนดให้ \( -2 A=\left[\begin{array}{ll}7 & 5 \\ 6 & 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}4 & -x \\ 6 & y\end{array}\right] \) และ \( C=\left[\begin{array}{ll}5 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right] \) ถ้า \( \operatorname{det}\left(A B^{t}\right)=\operatorname{det}\left(C^{-1}\right) \) จงหาค่าของ \( 3 x+2 y \)

เริ่มจากการคำนวณหา \( A \) จากสมการที่กำหนดให้ \( -2A = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} \) จะได้ว่า \[ A = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{2} & -\frac{5}{2} \\ -3 & -\frac{3}{2} \end{bmatrix} \] ถัดไปให้คำนวณ \( C^{-1} \): \[ C = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \] การหาค่าของโคแฟคเตอร์ เราจะพบว่า \[ \text{det}(C) = 5 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 10 - 4 = 6 \] ดังนั้น \[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \] ซึ่งเราจะได้ว่า \[ \text{det}(C^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(C)} = \frac{1}{6} \] จากนั้นมาหา \( B^{t} \) และแทนลงในสมการของ \( \operatorname{det}(A B^{t}) \): \[ B^t = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -x & y \end{bmatrix} \] \[ \text{det}(AB^t) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B^t) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) \] คำนวณ \( A \): \[ \text{det}(A) = -\frac{7}{2} \cdot -\frac{3}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right)(-3) = \frac{21}{4} - \frac{15}{2} = \frac{21}{4} - \frac{30}{4} = -\frac{9}{4} \] หาค่า \( \text{det}(B) \): \[ \text{det}(B) = 4y - (-x)(6) = 4y + 6x \] กำหนดสรุปเพื่อให้สมการเป็นจริง: \[ \text{det}(AB^t) = -\frac{9}{4} (4y + 6x) = \frac{1}{6} \] เราจะได้ว่า: \[ -9(4y + 6x) = \frac{4}{6} \Rightarrow 4y + 6x = -\frac{2}{3} \] ให้ได้ค่าของ \( 3x + 2y \) เปลี่ยน \( 4y + 6x = -\frac{2}{3} \) ไปเร่งหาค่าตามสมการที่ต้องการโดยใช้ระบบ 2 ตัวแปร: 1. \( 4y + 6x = -\frac{2}{3} \) 2. เขียนในรูป \( y = -\frac{2}{4} - \frac{3}{4}x \) และทำการปรับให้ได้ \( 3x + 2y \). สุดท้าย จะได้ว่าค่าต้องการของ \( 3x + 2y = -\frac{2}{3} \) ทำให้ท่านไม่ต้องกังวลใดๆ ยังไงก็ต้องเปลี่ยนมาเป็นตัวเลขที่สามารถเข้าใจได้ง่ายมากกว่าเป็นแค่ในการหาค่าความสำเร็จจากคณิตศาสตร์. สรุปได้เลยว่า เมื่อคุณคำนวณสำหรับ \( 3x + 2y \) จะได้มาก็ตามที่ระบุไว้ข้างต้น.