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Find the slope of the following curve at \( x=8 \) \( y=\frac{1}{x-4} \) The slope of the given curve at \( x=8 \) is (Simplify your answer.)

Ask by Davison Potter. in the United States
Mar 09,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The slope of the curve at \( x=8 \) is \( -\frac{1}{16} \).

Solución

1. Given the function \[ y = \frac{1}{x-4}, \] we rewrite it as \[ y = (x-4)^{-1}. \] 2. Differentiate \( y \) with respect to \( x \) using the power rule: \[ \frac{dy}{dx} = -1 \cdot (x-4)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x-4). \] Since \(\frac{d}{dx}(x-4)=1\), we have \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x-4)^2}. \] 3. Evaluate the derivative at \( x=8 \): \[ \frac{dy}{dx}\Big|_{x=8} = -\frac{1}{(8-4)^2} = -\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}. \] The slope of the given curve at \( x=8 \) is \[ -\frac{1}{16}. \]

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To find the slope of the curve \( y = \frac{1}{x-4} \) at \( x = 8 \), we first need to compute the derivative, \( y' \). Using the quotient rule, we have: \[ y' = -\frac{1}{(x-4)^2} \] Now, we substitute \( x = 8 \) into the derivative: \[ y' = -\frac{1}{(8-4)^2} = -\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16} \] Thus, the slope of the given curve at \( x=8 \) is \( -\frac{1}{16} \).

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