$$ \left. \begin{array} { c } { f ( x ) = x \cdot \sin ( 10 \pi x ) } \ { x | f ( x ) } \ \hline - 1 \ { - 0.8 } \ { - 0.6 } \ { - 0.4 } \ { - 0.2 } \ { 0 } \ { 0.2 } \ { 0.4 } \ { 0.6 } \ { 0.8 } \ { 1.0 } \ { 1.2 } \ { 1.4 } \ { 1.6 } \ { 1.8 } \ { 2.0 } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { c } { f ( x ) = x \cdot \sin ( 10 \pi x ) } \ { x | f ( x ) } \ \hline - 1 \ { - 0.8 } \ { - 0.6 } \ { - 0.4 } \ { - 0.2 } \ { 0 } \ { 0.2 } \ { 0.4 } \ { 0.6 } \ { 0.8 } \ { 1.0 } \ { 1.2 } \ { 1.4 } \ { 1.6 } \ { 1.8 } \ { 2.0 } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\begin{array}{l}
\textbf{Función: } f(x) = x \cdot \sin (10 \pi x)
\end{array}
$$

$$
\textbf{Paso 1: Evaluar el argumento del seno}
$$

Para cada valor $$ x $$ de la tabla, el argumento del seno es 
$$
10 \pi x.
$$
Observamos que los valores de $$ x $$ proporcionados: 
$$
-1,\, -0.8,\, -0.6,\, -0.4,\, -0.2,\, 0,\, 0.2,\, 0.4,\, 0.6,\, 0.8,\, 1.0,\, 1.2,\, 1.4,\, 1.6,\, 1.8,\, 2.0,
$$
al multiplicarse por $$ 10 \pi $$ producen múltiplos enteros de $$ \pi $$. Por ejemplo, cuando $$ x = -1 $$,
$$
10 \pi \cdot (-1) = -10\pi,
$$
y cuando $$ x = 0.2 $$,
$$
10 \pi \cdot 0.2 = 2\pi.
$$

$$
\textbf{Paso 2: Utilizar la propiedad del seno}
$$

Sabemos que para cualquier entero $$ k $$,
$$
\sin(k \pi) = 0.
$$
Dado que $$ 10 \pi x $$ es siempre un múltiplo entero de $$ \pi $$ para los valores de $$ x $$ proporcionados, se tiene:
$$
\sin(10 \pi x) = 0.
$$

$$
\textbf{Paso 3: Evaluar la función}
$$

Sustituyendo en la función:
$$
f(x) = x \cdot \sin(10 \pi x) = x \cdot 0 = 0.
$$
Por lo tanto, para cada $$ x $$ de la tabla, el valor de $$ f(x) $$ es $$ 0 $$.

$$
\textbf{Conclusión:}
$$

La tabla completa con las evaluaciones es:

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \ \hline
-1.0 & 0 \ \hline
-0.8 & 0 \ \hline
-0.6 & 0 \ \hline
-0.4 & 0 \ \hline
-0.2 & 0 \ \hline
0 & 0 \ \hline
0.2 & 0 \ \hline
0.4 & 0 \ \hline
0.6 & 0 \ \hline
0.8 & 0 \ \hline
1.0 & 0 \ \hline
1.2 & 0 \ \hline
1.4 & 0 \ \hline
1.6 & 0 \ \hline
1.8 & 0 \ \hline
2.0 & 0 \ \hline
\end{array}
$$
Para cada valor de $$ x $$ en la tabla, $$ f(x) = x \cdot \sin(10 \pi x) $$ resulta en 0.

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