61. Una empresa tiene dos sucursales. El promedio de los salarios de los trabajadores en la Sucursal 1 es de \( \$ 550000 \), mientras que el promedio de los salarios en la Sucursal 2 es de \( \$ 450000 \). Además, la Sucursal 2 tiene el doble de trabajadores que la Sucursal 1 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) La suma de los salarios en la Sucursal 2 es menor que la suma de los salarios en la Sucursal 1 . B) Hay al menos un trabajador en la Sucursal 1 que gana \( \$ 100000 \) más que cualquier trabajador de la Sucursal 2 . El promedio de los salarios de ambas sucursales equivale al promedio entre \( \$ 550000 \) y \( \$ 450000 \). D) La suma total de los salarios en la Sucursal 2 es menor que el doble de la suma de los salarios en la Sucursal 1 .

Para resolver el problema, primero definamos algunas variables: - Sea \( n \) el número de trabajadores en la Sucursal 1. - Entonces, en la Sucursal 2 hay \( 2n \) trabajadores (ya que tiene el doble de trabajadores que la Sucursal 1). Ahora, calculemos las sumas de los salarios en cada sucursal: - La suma de los salarios en la Sucursal 1 es: \[ S_1 = n \times 550000 \] - La suma de los salarios en la Sucursal 2 es: \[ S_2 = 2n \times 450000 = 900000n \] Ahora evaluemos cada afirmación: A) **La suma de los salarios en la Sucursal 2 es menor que la suma de los salarios en la Sucursal 1.** Esto se traduce a: \[ 900000n < 550000n \] Esto no es cierto, ya que \( 900000n \) es mayor que \( 550000n \) para cualquier \( n > 0 \). Por lo tanto, esta afirmación es falsa. B) **Hay al menos un trabajador en la Sucursal 1 que gana \( \$ 100000 \) más que cualquier trabajador de la Sucursal 2.** No podemos afirmar esto, ya que no tenemos información sobre la distribución de los salarios en cada sucursal. Por lo tanto, esta afirmación no es necesariamente verdadera. C) **El promedio de los salarios de ambas sucursales equivale al promedio entre \( \$ 550000 \) y \( \$ 450000 \).** El promedio de los salarios de ambas sucursales se calcula como: \[ \text{Promedio total} = \frac{S_1 + S_2}{n + 2n} = \frac{550000n + 900000n}{3n} = \frac{1450000n}{3n} = \frac{1450000}{3} \approx 483333.33 \] El promedio entre \( 550000 \) y \( 450000 \) es: \[ \frac{550000 + 450000}{2} = \frac{1000000}{2} = 500000 \] Por lo tanto, esta afirmación es falsa. D) **La suma total de los salarios en la Sucursal 2 es menor que el doble de la suma de los salarios en la Sucursal 1.** Esto se traduce a: \[ 900000n < 2 \times 550000n \] Simplificando: \[ 900000n < 1100000n \] Esto es cierto para cualquier \( n > 0 \). Por lo tanto, la afirmación que es siempre verdadera es la opción D.