$$ y=\left(2 x^{3}-3 x^{2}+5 x\right)^{\frac{3}{2}} $$ จงหา $$ \frac{d y}{d x} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

กำหนดให้
$$
y=\left(2x^3-3x^2+5x\right)^{\frac{3}{2}}
$$
เราสามารถใช้กฎลูกโซ่ (Chain Rule) ได้โดยตั้งให้
$$
u=2x^3-3x^2+5x \quad \text{และ} \quad y=u^{\frac{3}{2}}.
$$

**ขั้นตอนที่ 1: หาอนุพันธ์ของ $$ y $$ ตาม $$ u $$**  
จาก $$ y=u^{\frac{3}{2}} $$ เราจะได้
$$
\frac{dy}{du}=\frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}.
$$

**ขั้นตอนที่ 2: หาอนุพันธ์ของ $$ u $$ ตาม $$ x $$**  
สำหรับ $$ u=2x^3-3x^2+5x $$ ต่างจากโดยอนุพันธ์ของแต่ละเทอมมีดังนี้
$$
\frac{d}{dx}(2x^3)=6x^2,\quad \frac{d}{dx}(-3x^2)=-6x,\quad \frac{d}{dx}(5x)=5.
$$
ดังนั้น
$$
\frac{du}{dx}=6x^2-6x+5.
$$

**ขั้นตอนที่ 3: ประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่**  
จากกฎลูกโซ่
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},
$$
แทนค่าได้ว่า
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}(6x^2-6x+5).
$$
แทน $$ u $$ กลับเข้าไปจะได้
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\left(2x^3-3x^2+5x\right)^{\frac{1}{2}}(6x^2-6x+5).
$$

จึงได้คำตอบสุดท้ายว่า
$$
\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\left(2x^3-3x^2+5x\right)^{\frac{1}{2}}(6x^2-6x+5)}.
$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} \times (2x^3 - 3x^2 + 5x)^{1/2} \times (6x^2 - 6x + 5) $$

จงหา

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions