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8. \( \cos \theta \cdot \csc \theta= \) a \( \cot \theta \) b \( \sin \theta \) c \( \tan \theta \) d \( \sec \theta \)

Ask by Alexander Coleman. in the United States
Mar 12,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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\( \cos \theta \cdot \csc \theta = \cot \theta \), so the answer is a) \( \cot \theta \).

Solución

To simplify the expression \( \cos \theta \cdot \csc \theta \), we can use the definitions of the trigonometric functions involved. 1. **Recall the definitions:** - \( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \) 2. **Substitute the definition into the expression:** \[ \cos \theta \cdot \csc \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta} \] 3. **Simplify the expression:** \[ \cos \theta \cdot \csc \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \] 4. **Recognize the result:** The expression \( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \) is the definition of \( \cot \theta \). Thus, we have: \[ \cos \theta \cdot \csc \theta = \cot \theta \] Therefore, the answer is: **a) \( \cot \theta \)**.

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Bonus Knowledge

To simplify \( \cos \theta \cdot \csc \theta \), recall that \( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \). So, \( \cos \theta \cdot \csc \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \). This simplifies to \( \cot \theta \). Therefore, the correct answer is: a \( \cot \theta \). Understanding these fundamental trigonometric identities can enhance problem-solving, as they're interconnected! You can see how much of trigonometry relies on knowing conversions between functions—like knowing that \( \csc \theta \) is just the reciprocal of \( \sin \theta \). If you find yourself making mistakes, remember to keep the basic identities handy: \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), which can help you derive other relationships. It’s a great way to catch any missteps in solving trigonometric equations or identities—always double-check with this foundational truth!

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