- La ecuacioń \( x^{2} y-2 x \sqrt{y}=\cos (\pi x) \) define en forma implicita a \( F: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1} / y=f(x) \) de clase \( c^{\prime} \) en el entorno de \( x_{0}=1 \). Determine \( \left(f^{-1}\right)_{(1)}^{1} \)

Para encontrar la derivada de la función inversa \( \left(f^{-1}\right)_{(1)}^{1} \), utilizamos la regla de la derivada de la función inversa. Primero, calculamos la derivada de \( F \) con respecto a \( x \) y evaluamos en \( x_0 = 1 \). De la ecuación implícita \( F(x, y) = x^{2} y - 2 x \sqrt{y} - \cos(\pi x) \), aplicamos la derivada implícita: \[ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \] Calculamos \( \frac{\partial F}{\partial x} \) y \( \frac{\partial F}{\partial y} \): \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 2xy - 2\sqrt{y} + 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} - \pi \sin(\pi x) \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} = x^{2} - \frac{1}{\sqrt{y}} \] Luego, evaluamos en \( (x_0, y_0) \), donde \( x_0 = 1 \) y buscamos un \( y_0 \) tal que \( F(1, y_0) = 0 \). Resolviendo la ecuación explícita en \( x = 1 \): \[ 1^{2}y_0 - 2 \cdot 1 \sqrt{y_0} = \cos(\pi \cdot 1) \] \[ y_0 - 2\sqrt{y_0} = -1 \] \[ y_0 + 1 = 2\sqrt{y_0} \] Al elevar al cuadrado, se obtiene \( y_0^2 + 2y_0 + 1 = 4y_0\), dando la ecuación \( y_0^2 - 2y_0 + 1 = 0 \), o \( (y_0 - 1)^2 = 0 \). Así, \( y_0 = 1 \). Evaluamos \( \frac{\partial F}{\partial x} \) y \( \frac{\partial F}{\partial y} \) en \( (1, 1) \): \[ \frac{\partial F}{\partial x} \bigg|_{(1,1)} = 2 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} - \pi \sin(\pi) = 0 \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} \bigg|_{(1,1)} = 1^{2} - 1 = 0 \] Dado que \( \frac{\partial F}{\partial y} \neq 0\) por ser \( y_0 = 1\) apropiado, usamos la regla: \[ \left(f^{-1}\right)_{(1)}^{1} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} \bigg|_{(1,1)} \] Por lo tanto, encontramos que esta derivada es 0, así: \[ \left(f^{-1}\right)_{(1)}^{1} = \text{Indeterminado} \] Esto implica que al derivar la función inversa en el punto \( (1,1) \), obtenemos un resultado indeterminado, lo que sugiere que la función puede no tener una inversa localmente lineal en ese punto.