Use a change of variables to evaluate the following indefinite integral. \( \int \frac{(\sqrt{x}+6)^{8}}{2 \sqrt{x}} d x \) Determine a change of variables from \( x \) to u. Choose the correct answer below. A. \( u=(\sqrt{x}+6)^{8} \) B. \( u=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \) C. \( u=\sqrt{x} \) D. \( u=\sqrt{x}+6 \) Write the integral in terms of \( u \). \( \int \frac{(\sqrt{x}+6)^{8}}{2 \sqrt{x}} d x=\int\left(u^{8}\right) \) du Evaluate the integral. \( \int \frac{(\sqrt{x}+6)^{8}}{2 \sqrt{x}} d x=\square \)
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To evaluate the given integral using a change of variables, let's choose \( u = \sqrt{x} + 6 \) (Option D). This means that \( \sqrt{x} = u - 6 \) and \( x = (u - 6)^2 \). The differential \( dx \) can be expressed as \( dx = 2(u - 6) du \). Now, substitute everything into the integral. The integrand becomes: \[ \frac{(\sqrt{x} + 6)^{8}}{2 \sqrt{x}} = \frac{u^{8}}{2(u - 6)} \cdot 2(u - 6) du = u^{8} du. \] Thus, we have: \[ \int \frac{(\sqrt{x}+6)^{8}}{2 \sqrt{x}} d x=\int u^{8} du. \] Now, let's evaluate the integral: \[ \int u^{8} du = \frac{u^{9}}{9} + C. \] Finally, substituting back for \( u \): \[ \int \frac{(\sqrt{x}+6)^{8}}{2 \sqrt{x}} d x = \frac{(\sqrt{x}+6)^{9}}{9} + C. \]
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