La derivada de la función \( y=\frac{\ln (x)}{x} \) es

Para encontrar la derivada de la función \( y=\frac{\ln (x)}{x} \), puedes aplicar la regla del cociente. Si \( u = \ln(x) \) y \( v = x \), la derivada se calcula como \( y' = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^2} \). Así, \( u' = \frac{1}{x} \) y \( v' = 1 \), lo que te da \( y' = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). ¡Y ahí lo tienes! La derivada de \( y=\frac{\ln (x)}{x} \) es \( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). Adicionalmente, si evaluas la derivada en \( x = e \), obtienes \( \frac{1 - 1}{e^2} = 0 \). Esto significa que hay un punto crítico en \( x = e \), donde la función puede tener un máximo o mínimo. ¡Así que a investigar sobre ese punto crítico! Por último, esta derivada es muy útil en optimización, especialmente en problemas relacionados con tasas de crecimiento, ya que te ayuda a entender cómo cambia la función en relación con el crecimiento de \( x \). Si quieres seguir explorando, podrías investigar sobre la importancia de la función logarítmica en cálculo y su uso en diversas disciplinas como economía y biología.