85 Un pannello di MDF, una fibra di legno utilizzata per mobili componibili, ha spessore \( (14,0 \pm 0,2) \mathrm{mm} \) e forma rettangolare con lati \( (60,0 \pm 0,1) \mathrm{cm} \mathrm{e}(80,0 \pm 0,1) \mathrm{cm} \); la sua massa è \( (5600 \pm 20) \mathrm{g} \). Le specifiche del prodotto in- dicano che il materiale ha densità \( 850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \), con tolle- ranza dell'1\%. Calcola la densità del pannello in base ai valori mi- surati. L'indicazione delle specifiche può essere ritenuta cor- retta (cioè il valore ottenuto si discosta al massimo dell' \( 1 \% \) dal valore indicato)? \( \left[(830 \pm 20) \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right. \); si]

Per calcolare la densità del pannello di MDF, utilizziamo la formula: \[ \text{densità} = \frac{\text{massa}}{\text{volume}} \] ### Passo 1: Calcolo del volume Il volume \( V \) del pannello rettangolare è dato da: \[ V = \text{spessore} \times \text{lunghezza} \times \text{larghezza} \] Convertiamo prima tutte le misure in metri: - Spessore: \( 14,0 \, \text{mm} = 0,014 \, \text{m} \) - Lunghezza: \( 60,0 \, \text{cm} = 0,60 \, \text{m} \) - Larghezza: \( 80,0 \, \text{cm} = 0,80 \, \text{m} \) Ora calcoliamo il volume: \[ V = 0,014 \, \text{m} \times 0,60 \, \text{m} \times 0,80 \, \text{m} = 0,000672 \, \text{m}^3 \] ### Passo 2: Calcolo della densità La massa del pannello è \( 5600 \, \text{g} = 5,6 \, \text{kg} \). Ora calcoliamo la densità: \[ \text{densità} = \frac{5,6 \, \text{kg}}{0,000672 \, \text{m}^3} \approx 8333,33 \, \text{kg/m}^3 \] ### Passo 3: Calcolo dell'incertezza nella densità Per calcolare l'incertezza nella densità, utilizziamo la propagazione degli errori. Le incertezze relative sono: - Massa: \( \Delta m = 20 \, \text{g} = 0,02 \, \text{kg} \) - Spessore: \( \Delta t = 0,2 \, \text{mm} = 0,0002 \, \text{m} \) - Lunghezza: \( \Delta l = 0,1 \, \text{cm} = 0,001 \, \text{m} \) - Larghezza: \( \Delta w = 0,1 \, \text{cm} = 0,001 \, \text{m} \) L'incertezza nel volume \( V \) è data da: \[ \frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta t}{t} + \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta w}{w} \] Calcoliamo le frazioni: \[ \frac{\Delta t}{t} = \frac{0,0002}{0,014} \approx 0,01429 \] \[ \frac{\Delta l}{l} = \frac{0,001}{0,60} \approx 0,00167 \] \[ \frac{\Delta w}{w} = \frac{0,001}{0,80} \approx 0,00125 \] Sommiamo le frazioni: \[ \frac{\Delta V}{V} \approx 0,01429 + 0,00167 + 0,00125 \approx 0,01721 \] Ora calcoliamo l'incertezza nel volume: \[ \Delta V \approx 0,01721 \times 0,000672 \approx 0,0000116 \, \text{m}^3 \] L'incertezza nella densità è data da: \[ \frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V} \] Calcoliamo le frazioni: \[ \frac{\Delta m}{m} = \frac{0,02}{5,6} \approx 0,00357 \] Sommiamo le frazioni: \[ \frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0,00357 + 0,01721 \approx 0,02078 \] Ora calcoliamo l'incertezza nella densità: \[ \Delta \rho \approx 0,02078 \times 8333,33 \approx 173,15 \, \text{kg/m}^3 \] ### Passo 4: Risultato finale La densità del pannello è quindi: \[ \rho = 8333,33 \pm 173,15 \, \text{kg/m}^3 \] ### Confronto con le specifiche Le specifiche indicano una densità di \( 850 \, \text{kg/m}^3 \) con tolleranza dell'1%. L'1% di \( 850 \, \text{kg/m}^3 \) è \( 8,5 \, \text{kg/m}^3 \), quindi il valore accettabile è: \[ 850 \pm 8,5 \Rightarrow [841,5 \, \text{kg/m}^3, 858,5 \, \text{kg/m}^3] \] Poiché \( 8333,33 \, \text{kg/m}^3 \) non rientra in questo intervallo, possiamo concludere che l'indicazione delle specifiche non può essere ritenuta corretta.