77) $$ \frac{ an (\alpha-\beta)- an \alpha}{1+ an (\alpha+\beta) an \alpha}= an \beta $$

Question

77) $$ \frac{	an (\alpha-\beta)-	an \alpha}{1+	an (\alpha+\beta) 	an \alpha}=	an \beta $$

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Consideremos la expresión

$$
E = \frac{\tan(\alpha-\beta)-\tan\alpha}{1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha}
$$

y demostremos paso a paso que, al simplificarla, se obtiene

$$
E = -\tan\beta\,\frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta}.
$$

A partir de allí, determinaremos bajo qué condiciones se tiene $$E = \tan\beta$$.

1. **Expresar $$\tan(\alpha - \beta)$$:**

Utilizamos la identidad

$$
   \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta},
   $$

de modo que el numerador de $$E$$ queda

$$
   \tan(\alpha-\beta)-\tan\alpha = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} - \tan\alpha.
   $$

2. **Simplificar el numerador:**

Escribimos $$\tan\alpha$$ con denominador común

$$
   \tan\alpha = \frac{\tan\alpha(1+\tan\alpha\,\tan\beta)}{1+\tan\alpha\,\tan\beta}.
   $$

Entonces,

$$
   \begin{aligned}
   \tan(\alpha-\beta)-\tan\alpha &= \frac{\tan\alpha-\tan\beta -\tan\alpha(1+\tan\alpha\,\tan\beta)}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} \
   &= \frac{\tan\alpha-\tan\beta-\tan\alpha-\tan^2\alpha\,\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} \
   &= \frac{-\tan\beta-\tan^2\alpha\,\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} \
   &= -\tan\beta\,\frac{1+\tan^2\alpha}{1+\tan\alpha\,\tan\beta}.
   \end{aligned}
   $$

3. **Simplificar el denominador de $$E$$:**

Tenemos

$$
   1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha.
   $$

Utilizamos la identidad

$$
   \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta},
   $$

por lo que

$$
   \begin{aligned}
   1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha &= 1+\tan\alpha\,\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta} \
   &= \frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta+\tan\alpha(\tan\alpha+\tan\beta)}{1-\tan\alpha\,\tan\beta} \
   &= \frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta+\tan^2\alpha+\tan\alpha\,\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta} \
   &= \frac{1+\tan^2\alpha}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}.
   \end{aligned}
   $$

4. **Reescribir la expresión completa $$E$$:**

Sustituyendo los resultados en $$E$$ tenemos

$$
   E = \frac{-\tan\beta\,\frac{1+\tan^2\alpha}{1+\tan\alpha\,\tan\beta}}{\frac{1+\tan^2\alpha}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}}
   = -\tan\beta\,\frac{1+\tan^2\alpha}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} \cdot \frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta}{1+\tan^2\alpha}.
   $$

Cancelando el factor $$1+\tan^2\alpha$$ (siempre que no sea cero), obtenemos

$$
   E = -\tan\beta\,\frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta}.
   $$

5. **Determinar la condición para que $$E = \tan\beta$$:**

Queremos que se cumpla

$$
   -\tan\beta\,\frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} = \tan\beta.
   $$

Asumiendo $$\tan\beta \neq 0$$ (para poder dividir por $$\tan\beta$$), dividimos ambos lados por $$\tan\beta$$:

$$
   -\frac{1-\tan\alpha\,\tan\beta}{1+\tan\alpha\,\tan\beta} = 1.
   $$

Multiplicamos ambos lados por $$1+\tan\alpha\,\tan\beta$$:

$$
   -\left(1-\tan\alpha\,\tan\beta\right) = 1+\tan\alpha\,\tan\beta.
   $$

Esto implica

$$
   -1+\tan\alpha\,\tan\beta = 1+\tan\alpha\,\tan\beta.
   $$

Al cancelar $$\tan\alpha\,\tan\beta$$ en ambos lados, se tiene

$$
   -1 = 1,
   $$

lo cual es una contradicción.

6. **Conclusión:**

La contradicción obtenida muestra que, bajo la suposición $$\tan\beta \neq 0$$, la igualdad

$$
   \frac{\tan(\alpha-\beta)-\tan\alpha}{1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha} = \tan\beta
   $$

**no se cumple en general**.

Sin embargo, si $$\tan\beta = 0$$ (es decir, si $$\beta = k\pi$$ con $$k \in \mathbb{Z}$$), ambas partes de la igualdad se anulan:

- En el numerador, $$\tan(\alpha-\beta)-\tan\alpha$$ se convierte en $$\tan\alpha-\tan\alpha = 0$$.
   - En el denominador, al aplicar la identidad se tiene un denominador distinto de cero.

Así, en este caso se tiene

$$
   E = \frac{0}{1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha} = 0 = \tan\beta.
   $$

Por lo tanto, **la igualdad dada se cumple únicamente en el caso particular en que $$\tan\beta = 0$$**, es decir, cuando

$$
\beta = k\pi \quad \text{con } k\in\mathbb{Z}.
$$
La igualdad $$\frac{\tan(\alpha-\beta)-\tan\alpha}{1+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha} = \tan\beta$$ **solo se cumple cuando $$\beta = k\pi$$**, donde $$k$$ es un número entero.

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