¿Qué es un vértice en geometría?

Al menos todos los días nos encontramos con varias formas geométricas: edificios, por ejemplo, cuyas estructuras arquitectónicas se pueden descomponer en puntos, líneas y planos; también pueden haber puntos prominentes, como techos puntiagudos, que cumplen condiciones específicas para formar lo que se llaman "vértices", un concepto esencial en geometría que define los puntos donde dos curvas se encuentran o se encuentran en una intersección. ¡Vamos a investigar más a fondo qué es un vértice y descubrir sus propiedades!

Definición de un Vértice

Los vértices son uno de los conceptos fundamentales en geometría, ya sea en espacios bidimensionales o tridimensionales. Los vértices son una parte esencial de estos mundos, ya sean planos bidimensionales o tridimensionales.

Para Líneas y Rayos

Definición:

Las líneas y los rayos son dos elementos esenciales en geometría; las líneas pueden extenderse en ambas direcciones mientras que los rayos comienzan en un punto y continúan indefinidamente a lo largo de su curso; los vértices sirven como puntos donde dos se intersectan o se encuentran; tal intersección ocurre donde las líneas o rayos se encuentran o se cruzan en sus extremos.

Ejemplos:

A continuación se muestra una imagen que representa un ángulo formado por dos rayos que se unen en un punto común y se encuentran en su vértice.

Para Polígonos

Definición:

Los polígonos son formas planas, bidimensionales con lados rectos que forman figuras completamente cerradas. Un vértice para polígonos se puede definir como el punto donde se cruzan dos de sus lados; estos puntos de encuentro entre segmentos de línea se conocen como vértices.

Ejemplos de polígonos comunes:

Un cuadrado tiene cuatro puntos donde se cruzan sus lados, pero los triángulos solo contienen tres, los pentágonos cinco, los decágonos diez, etc.; a diferencia de los polígonos tradicionales, sin embargo, los círculos no contienen puntos de vértice en absoluto.

Para Poliedros

Definición:

Los poliedros (plural: poliedros) son formas sólidas tridimensionales que consisten en caras poligonales planas conectadas por bordes rectos para formar sus superficies; en comparación, las esferas (plural: esferas) son objetos tridimensionales caracterizados por superficies circulares sin bordes ni vértices, distinguiéndolas así de los poliedros en términos de métodos de construcción y formas.

Ejemplos de poliedros comunes:

Un cubo contiene ocho vértices donde se cruzan sus bordes; en comparación, las pirámides presentan cinco y los prismas triangulares seis, respectivamente. Por el contrario, a diferencia de los poliedros (incluidas las esferas y cilindros), que consisten en superficies rectas, solo los vértices no existen en estas formas.

Historia de los Vértices

Geometría Temprana

Los vértices siempre han jugado un papel esencial en la historia de la geometría y en las teorías contemporáneas por igual, desde textos matemáticos antiguos hasta teoría contemporánea; desde la comprensión y definición de formas geométricas a través de textos matemáticos antiguos como "Los Elementos" de Euclides hasta aplicaciones actuales al usarlos para identificar puntos de intersección clave dentro de construcciones geométricas como sus poliedros convexos o sólidos triádicos.

Edad Media

En la Edad Media, matemáticos famosos como Al-Khwarizmi y Omar Khayyam utilizaron principios geométricos avanzados para expandir conceptos geométricos anteriores y establecer nuevos principios geométricos. Desarrollaron su conocimiento sobre el papel de los vértices en formas más intrincadas, así como métodos algebraicos para resolver problemas geométricos que involucraban estos, enriqueciendo este campo significativamente. Al-Khwarizmi fue pionero en métodos algebraicos para resolver ecuaciones, mientras que Omar Khayyam avanzó en las ecuaciones cúbicas y sus interpretaciones geométricas, uniendo el álgebra y la geometría para matemáticos futuros.

Matemáticas Modernas

Leonhard Euler hizo contribuciones revolucionarias a nuestra comprensión de los vértices a través de su innovador trabajo en la teoría de grafos y la topología. La formulación de Euler iluminó las relaciones geométricas dentro de los poliedros convexos que dieron lugar a conceptos topológicos; su famosa fórmula V-E+F=2 destacó estas interrelaciones dentro de los poliedros convexos mientras creaba nuevas ideas topológicas; su trabajo inspiró a Gustav Kirchhoff, quien hizo contribuciones significativas al aplicar la teoría de grafos al análisis de circuitos eléctricos, mientras Arthur Cayley expandió aún más nuestra comprensión de los árboles, consolidando estos conceptos en la geometría moderna.

Propiedades de un Vértice 

Una figura u objeto que no tiene lados ni aristas no tiene vértices.

Los vértices poseen una característica esencial: las figuras geométricas sin lados ni aristas, como los puntos y los círculos, no contienen vértices por naturaleza. Los vértices se forman en las intersecciones entre aristas; por lo tanto, las figuras sin aristas no tienen ningún vértice para empezar.

Conectividad 

Los vértices cumplen una función integral dentro de las figuras geométricas. Conectan aristas en polígonos y poliedros para formar el marco de estas figuras mientras su conectividad asegura la integridad estructural y coherencia de formas geométricas complejas.

Colinealidad y Coplanaridad

Los vértices juegan un papel esencial en la definición de colinealidad y coplanaridad, dos propiedades esenciales para comprender las relaciones espaciales en la geometría tridimensional. Los vértices colineales se encuentran a lo largo de una misma línea recta, mientras que los coplanares habitan en un mismo plano. Estas propiedades nos ayudan a comprender mejor las relaciones espaciales.

Teoremas relacionados con los vértices

Numerosos teoremas esenciales involucran vértices y pueden ofrecer un conocimiento sobre sus propiedades y roles. Aquí presentaremos principalmente dos de esos teoremas: el Teorema de las Dos Orejas y la Fórmula de Euler, pero siéntete libre de explorar más con Upstudy!

Teorema de las dos orejas

Orejas y bocas en polígonos:

"Oreja" se refiere a cualquier vértice con dos aristas adyacentes que forman un ángulo convexo hacia afuera; por el contrario, "boca" se refiere a vértices donde dos aristas adyacentes forman un ángulo cóncavo hacia adentro.

Explicación del teorema:

El Teorema de las Dos Orejas establece que todo polígono simple (uno que no se interseca a sí mismo) con más de tres vértices tiene al menos dos orejas que pueden ser recortadas una por una en un proceso iterativo llamado "recorte de orejas" para triangular y descomponer en triángulos no superpuestos.

Ejemplo:

Considera un pentágono con cinco vértices etiquetados A, B, C, D y E; eliminando el vértice B de un octágono se producirá una forma cuadrilateral más fácil para un análisis geométrico adicional. Al identificar y eliminar áreas en polígonos más complejos, como un octágono, podemos simplificar su geometría para un examen más detallado.

Fórmula de Euler

Explicación:

La fórmula de Euler, V - E + F = 2, conecta el número de vértices (V), aristas (E), y caras (F) encontrados dentro de poliedros. Esta ecuación proporciona información clave sobre sus propiedades intrínsecas para propósitos de topología y geometría. 

Ejemplo:

Un ejemplo común es un cubo, con sus ocho vértices, 12 aristas, y seis caras; usando la fórmula de Euler obtenemos 8 - 12 + 6 = 2, verificando el teorema de Euler. De manera similar, considera un tetraedro que tiene cuatro vértices, seis aristas, y cuatro caras; aplicando la fórmula de Euler resulta en 4 - 6 + 4 = 2, lo cual también prueba su validez como teorema.

Conceptos Geométricos Relacionados

Ángulo del vértice

Definición:

Un ángulo del vértice se refiere a cualquier ángulo formado cuando dos lados de un polígono se encuentran en su vértice; en las formas tridimensionales, este término también abarca cualquier ángulo formado en los vértices de un poliedro.

Ejemplos:

El ángulo del vértice de un triángulo equilátero mide 60 grados, reflejando la distribución uniforme de ángulos del polígono regular. Cada ángulo del vértice en un cuadrado mide 90 grados debido a que los lados perpendiculares se intersectan perpendicularmente, mientras que, en un pentágono regular, cada ángulo del vértice es de 108 grados. En comparación, los polígonos en el borde no muestran una distribución uniforme de ángulos, sino que utilizan los bordes como puntos que miden 120 grados cada uno en sus ángulos del vértice y 90 grados, respectivamente, reflejando la distribución regular.

Borde

Definición:

Un borde se define como cualquier segmento lineal que conecta dos vértices dentro de un polígono o poliedro. Los bordes son generalmente líneas rectas que definen formas bidimensionales y sólidos tridimensionales, respectivamente, y juegan un papel esencial en la conformación de su estructura y propiedades.

Ejemplos:

Mientras que los triángulos comprenden tres bordes que conectan dos de sus tres vértices, los cuadrados contienen cuatro bordes con líneas rectas que conectan vértices adyacentes; de manera similar, un cubo tiene doce tales conexiones entre bordes adyacentes, mientras que los tetraedros tienen seis tales relaciones entre caras adyacentes de cuatro caras.

Cara

Definición:

Las caras son superficies planas que forman parte del límite de los objetos sólidos. Las caras generalmente consisten en formas poligonales delimitadas por bordes. Las caras juegan un papel esencial en la geometría tridimensional al definir las formas y estructuras de los poliedros.

Ejemplos:

Un cubo tiene seis caras cuadradas; un prisma rectangular equivalente tiene seis caras rectangulares idénticas en cada extremo; las pirámides pueden contener diversas cantidades de caras, dependiendo de la forma de su base; por ejemplo, una pirámide cuadrada típicamente presenta cinco superficies con forma de triángulo como parte de su composición.

Aplicaciones de los Vértices en la Vida Real

Aplicaciones de los Vértices en Arquitectura y Construcción

Los vértices juegan un papel esencial en la arquitectura y la construcción, sirviendo para definir esquinas e intersecciones de estructuras. Los arquitectos dependen de ellos al diseñar edificios para asegurar la estabilidad e integridad del diseño; para la construcción de techos, marcan puntos donde los segmentos se cruzan en diferentes intervalos para formar picos. Los ingenieros estructurales los utilizan al optimizar el uso de materiales, tanto por razones de seguridad como de costo; desde catedrales góticas hasta estructuras contemporáneas, los vértices ayudan a producir diseños arquitectónicos resilientes y visualmente atractivos.

Aplicaciones de los Vértices en Arte y Diseño

Los vértices juegan un papel integral en el arte y el diseño. Los artistas los utilizan como puntos de trama que definen formas y figuras que van desde polígonos básicos hasta modelos tridimensionales intrincados, mientras que los diseñadores digitales utilizan la manipulación de vértices en software para la creación gráfica digital y con fines de animación. Además, el modelado 3D los utiliza como el esqueleto de los objetos, lo que permite a los diseñadores crear modelos tridimensionales realistas, o en el diseño de paisajes de videojuegos, donde entender los vértices permite diseños precisos y atractivos.

Referencia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_(geometry)

https://dbpedia.org/page/Vertex_(geometry)

https://typeset.io/topics/vertex-geometry-mtlatfmx