Use the remainder theorem to determine if the given number \( c \) is a zero of the polynomial. \( f(x)=4 x^{4}+8 x^{3}-18 x^{2}+6 x+72 \) (a) \( c=-3 \) (b) \( c=2 \)
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To determine if \( c \) is a zero of the polynomial \( f(x) = 4x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 6x + 72 \) using the remainder theorem, we simply need to evaluate \( f(c) \). If \( f(c) = 0 \), then \( c \) is a zero of the polynomial. For \( c = -3 \): \[ f(-3) = 4(-3)^4 + 8(-3)^3 - 18(-3)^2 + 6(-3) + 72 \] \[ = 4(81) + 8(-27) - 18(9) - 18 + 72 \] \[ = 324 - 216 - 162 - 18 + 72 = 0 \] So, \( c = -3 \) **is a zero** of the polynomial. For \( c = 2 \): \[ f(2) = 4(2)^4 + 8(2)^3 - 18(2)^2 + 6(2) + 72 \] \[ = 4(16) + 8(8) - 18(4) + 12 + 72 \] \[ = 64 + 64 - 72 + 12 + 72 = 140 \] So, \( c = 2 \) **is not a zero** of the polynomial.
