3. Hallar el área de la región encerrada por las curvas, indicando cada uno de los pasos necesarios: \[ \begin{array}{l}y=\sqrt{x}, \quad y+x=2, \quad y=0\end{array} \]

Para hallar el área de la región encerrada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y + x = 2 \) y \( y = 0 \), seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Encontrar los puntos de intersección Primero, necesitamos encontrar los puntos de intersección entre las curvas. 1. **Intersección entre \( y = \sqrt{x} \) y \( y + x = 2 \)**: \[ \sqrt{x} + x = 2 \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ x + x^2 = 4 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 + x - 4 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Esto nos da dos soluciones: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \quad (\text{no es válida ya que } x_2 < 0) \] Entonces, el único punto de intersección válido es: \[ x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \] 2. **Intersección entre \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 0 \)**: \[ \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 \] 3. **Intersección entre \( y + x = 2 \) y \( y = 0 \)**: \[ 0 + x = 2 \implies x = 2 \] ### Paso 2: Determinar los límites de integración Los puntos de intersección que hemos encontrado son: - \( (0, 0) \) (intersección de \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 0 \)) - \( \left( \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}} \right) \) (intersección de \( y = \sqrt{x} \) y \( y + x = 2 \)) - \( (2, 0) \) (intersección de \( y + x = 2 \) y \( y = 0 \)) Los límites de integración serán de \( x = 0 \) a \( x = 2 \). ### Paso 3: Expresar el área El área encerrada entre las curvas se puede calcular como la integral de la función superior menos la función inferior. En este caso, la función superior es \( y = \sqrt{x} \) y la función inferior es \( y = 0 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \), y desde \( x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \) hasta \( x = 2 \) la función superior es \( y = 2 - x \). Por lo tanto, el área \( A \) se calcula como: \[ A = \int_0^{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}} \sqrt{x} \, dx + \int_{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}}^2 (2 - x) \, dx \] ### Paso 4: Calcular las integrales 1. **Primera integral**: \[ \int_0^{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}} = \frac{2}{3} \left( \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right)^{3/2} \] 2. **Segunda integral**: \[ \int_{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}}^2 (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}}^2 \] Evaluamos en los límites: \[ = \left( 2(2) - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\right) - \frac{\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\right)^2}{2} \right) \] Simplificamos: \[ = 4 - 2 = 2 - \left( -1 + \sqrt{17} - \frac{(-1 + \sqrt{17})^2}{8} \right) \] ### Paso 5: Sumar las áreas Finalmente, sumamos ambas áreas para obtener el área total encerrada por las curvas. ### Resultado Final El área total encerrada por las curvas es: \[ A = \frac{2}{3} \left( \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right)^{3/2} + \text{resultado de la segunda integral} \] Este cálculo puede ser simplificado y evaluado numéricamente para obtener un valor aproximado.