Pregunta
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Let \( R \) be the region bounded by the following curves. Find the volume of the solid generated when \( R \) is revolved about the \( x \)-axis. \( y=11 \sqrt{\sin x}, y=11, x=0 \) The volume of the solid is \( \square \) cubic units. (Type an exact answer.)

Ask by Savage Gibbs. in the United States
Mar 17,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The volume of the solid is \( \frac{121\pi(\pi - 2)}{2} \) cubic units.

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To find the volume of the solid generated when the region \( R \) bounded by the curves \( y = 11 \sqrt{\sin x} \), \( y = 11 \), and \( x = 0 \) is revolved about the \( x \)-axis, we can set up the integral using the disk method. First, we need to determine the points of intersection of the two curves \( y = 11 \sqrt{\sin x} \) and \( y = 11 \): 1. Setting \( 11 \sqrt{\sin x} = 11 \): \[ \sqrt{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1 \] The solution for \( \sin x = 1 \) in the interval from \(0\) to \(\frac{\pi}{2}\) is \( x = \frac{\pi}{2} \). Next, we find the volume \( V \) when the region is revolved about the \( x \)-axis from \( x = 0 \) to \( x = \frac{\pi}{2} \): The volume \( V \) can be calculated by the integral: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx \] where \( f(x) = 11 \) and \( g(x) = 11 \sqrt{\sin x} \). Thus, the volume becomes: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (11^2 - (11 \sqrt{\sin x})^2) \, dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (121 - 121 \sin x) \, dx \] \[ = \pi \cdot 121 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) \, dx \] Now, we calculate the integral: \[ \int (1 - \sin x) \, dx = x - (-\cos x) = x + \cos x. \] Thus, evaluating from \( 0 \) to \( \frac{\pi}{2} \): \[ \left[ x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( 0 + \cos(0) \right) = \frac{\pi}{2} + 0 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1. \] Therefore, substituting back into the volume equation: \[ V = \pi \cdot 121 \left(\frac{\pi}{2} - 1 \right) = \frac{121\pi^2}{2} - 121\pi. \] Thus, the final volume of the solid is: \[ V = \frac{121\pi^2}{2} - 121\pi \quad \text{cubic units.} \]

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