Mostre que \( \mu n=2-\frac{1}{n+1} \) i monóona crescente

Para mostrar que \( \mu n = 2 - \frac{1}{n+1} \) é monótona crescente, consideramos a diferença entre \( \mu n+1 \) e \( \mu n \): \[ \mu(n+1) - \mu(n) = \left( 2 - \frac{1}{n+2} \right) - \left( 2 - \frac{1}{n+1} \right) \] Simplificando, obtemos: \[ \mu(n+1) - \mu(n) = -\frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+1} \] Colocando as frações em um denominador comum: \[ \mu(n+1) - \mu(n) = \frac{-(n+1) + (n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \] Como o denominador \((n+1)(n+2)\) é sempre positivo para \(n \geq 1\), temos que a diferença é sempre positiva: \[ \mu(n+1) - \mu(n) > 0 \] Portanto, \( \mu n \) é uma função monótona crescente.