Determine el coeficiente del monomio $$ \mathrm{T}(x, y)=2^{m} \cdot 5(m+n) x^{m-n} y^{2 m+n} $$ si es de noveno grado y el $$ \operatorname{GR}(y)=8 $$

Question

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Para determinar el coeficiente del monomio $$ \mathrm{T}(x, y)=2^{m} \cdot 5(m+n) x^{m-n} y^{2 m+n} $$ cuando es de noveno grado y $$ \operatorname{GR}(y)=8 $$, seguimos estos pasos:

1. **Identificar el grado total del monomio**: El grado total de un monomio en $$ x $$ y $$ y $$ es la suma de los exponentes de $$ x $$ y $$ y $$. En este caso, el grado total es:
   $$
   (m - n) + (2m + n) = 3m
   $$
   Queremos que este grado total sea igual a 9:
   $$
   3m = 9
   $$
   De aquí, podemos resolver para $$ m $$:
   $$
   m = 3
   $$

2. **Determinar el valor de $$ n $$**: Sabemos que $$ \operatorname{GR}(y) = 8 $$, lo que significa que el exponente de $$ y $$ debe ser igual a 8. En nuestra expresión, el exponente de $$ y $$ es $$ 2m + n $$:
   $$
   2m + n = 8
   $$
   Sustituyendo $$ m = 3 $$:
   $$
   2(3) + n = 8 \implies 6 + n = 8 \implies n = 2
   $$

3. **Sustituir $$ m $$ y $$ n $$ en la expresión del monomio**: Ahora que tenemos $$ m = 3 $$ y $$ n = 2 $$, sustituimos estos valores en la expresión del monomio:
   $$
   \mathrm{T}(x, y) = 2^{3} \cdot 5(3 + 2) x^{3 - 2} y^{2(3) + 2}
   $$
   Simplificando:
   $$
   = 2^{3} \cdot 5(5) x^{1} y^{8}
   $$
   $$
   = 8 \cdot 25 x^{1} y^{8}
   $$
   $$
   = 200 x^{1} y^{8}
   $$

4. **Conclusión**: El coeficiente del monomio es $$ 200 $$.

Por lo tanto, el coeficiente del monomio es $$ \boxed{200} $$.
El coeficiente del monomio es 200.

Determine el coeficiente del monomio \[ \mathrm{T}(x, y)=2^{m} \cdot 5(m+n) x^{m-n} y^{2 m+n} \] si es de noveno grado y el \( \operatorname{GR}(y)=8 \)

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