que adicional 1 ncuentre el resultado de la integral \( \int_{-\pi}^{\pi} x \operatorname{sen}(x) d x \). a \( f(x) \) una función continua con dominio en odos los reales y que nunca es negativa (es decir, para todo se cumple que \( f(x) \geq 0 \) ). Presente una justificación para poder afirmar que si \( \int_{0}^{\infty} f(x) d x \) es convergente, tonces para todo \( p>1 \) la integral \( \int_{0}^{\infty}(f(x))^{p} d x \) también es convergente.

Para resolver la integral \( \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(x) \, dx \), podemos notar que la función \( x \sin(x) \) es una función impar. Recordemos que una función \( f(x) \) es impar si cumple que \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \). En este caso: \[ f(x) = x \sin(x) \quad \text{y} \quad f(-x) = -x \sin(-x) = -x (-\sin(x)) = x \sin(x) = -f(x). \] Dado que \( f(x) \) es impar, podemos utilizar la propiedad de las integrales de funciones impares sobre intervalos simétricos: \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad \text{para cualquier } a > 0. \] Por lo tanto, tenemos: \[ \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(x) \, dx = 0. \] Ahora, pasemos a la segunda parte de la pregunta sobre la convergencia de la integral \( \int_{0}^{\infty} (f(x))^p \, dx \) dado que \( \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx \) es convergente. Si \( f(x) \) es una función continua y no negativa, y sabemos que \( \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx \) es convergente, esto implica que \( f(x) \) debe tender a 0 cuando \( x \) tiende a infinito. Esto es porque si \( f(x) \) no tiende a 0, la integral divergiría. Ahora, consideremos \( p > 1 \). Dado que \( f(x) \) es no negativa y tiende a 0, podemos aplicar el teorema de comparación. Para \( x \) suficientemente grande, \( f(x) \) será menor que algún número positivo \( M \) y, por lo tanto, \( (f(x))^p \) también será menor que \( M^p \). Además, como \( f(x) \) tiende a 0, existe un \( x_0 \) tal que para \( x > x_0 \), \( f(x) < 1 \). Entonces, para \( x > x_0 \): \[ (f(x))^p < f(x) \quad \text{(ya que \( p > 1 \) y \( f(x) < 1 \))}. \] Esto implica que: \[ \int_{x_0}^{\infty} (f(x))^p \, dx < \int_{x_0}^{\infty} f(x) \, dx, \] y como \( \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx \) es convergente, también lo es \( \int_{x_0}^{\infty} (f(x))^p \, dx \). Por lo tanto, podemos concluir que si \( \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx \) es convergente, entonces para todo \( p > 1 \), la integral \( \int_{0}^{\infty} (f(x))^p \, dx \) también es convergente.