Analizar si las funciones siguientes son continuas o no en 2 ; si no lo es, explique por qué. 1. \( f(x)=4 x^{2}-2 x+12 \) 2. \( g(x)=\frac{3 x^{2}}{x-2} \) 3. \( h(x)=\sqrt{x-3} \) 4. \( g(t)=\frac{t^{3}-8}{t-2} \)

Analicemos cada función en el punto 2: 1. f(x) = 4x² – 2x + 12 • Esta es una función polinómica, y los polinomios son continuos en todo ℝ. • En particular, está definida y es continua en x = 2. 2. g(x) = (3x²) / (x – 2) • En x = 2 el denominador se hace 0, por lo que la función no está definida. • Al no estar definida en x = 2, se concluye que g(x) no es continua en ese punto. 3. h(x) = √(x – 3) • La raíz cuadrada requiere que el argumento sea mayor o igual a 0, es decir, x – 3 ≥ 0 o x ≥ 3. • Como 2 < 3, x = 2 no está en el dominio de h. • Por lo tanto, h(x) no es (ni puede ser considerada) continua en x = 2. 4. g(t) = (t³ – 8) / (t – 2) • Notamos que t³ – 8 es una diferencia de cubos que se factoriza como (t – 2)(t² + 2t + 4). • Para t ≠ 2, la función se puede simplificar a t² + 2t + 4, que es un polinomio, y por tanto continua en los puntos donde esté definida. • Sin embargo, en t = 2, la expresión original da 0/0; es decir, la función no está definida en t = 2 (se presenta una discontinuidad removible). • Aunque el límite cuando t tiende a 2 es: Lim(t→2) g(t) = 2² + 2·2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12, la función tal como está definida no incluye el valor en t = 2. • Por lo tanto, g(t) no es continua en t = 2 a menos que se defina su valor en t = 2 como 12 (lo cual implicaría remover la discontinuidad). Resumen: 1. f(x) es continua en 2. 2. g(x) no es continua en 2 porque el denominador se anula. 3. h(x) no es continua en 2 ya que 2 no pertenece a su dominio. 4. g(t) tiene una discontinuidad removible en t = 2 (no está definida en ese punto), por lo que, en su forma original, no es continua en t = 2.