1-2 Esquissez le solide dont le volume est donné par l’intégrale
et calculez celle-ci.

Ask by Reid Nichols. in Canada

Mar 20,2025

Question

1-2 Esquissez le solide dont le volume est donné par l'intégrale et calculez celle-ci. 1. $$ \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} r d z d r d 	heta $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord esquisser le solide dont le volume est donné par l'intégrale, puis nous allons calculer cette intégrale.

### Étape 1 : Esquisse du solide

L'intégrale donnée est :

$$
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} r \, dz \, dr \, d\theta
$$

Cette intégrale est en coordonnées cylindriques, où :
- $$ r $$ est la distance radiale,
- $$ z $$ est la hauteur,
- $$ \theta $$ est l'angle autour de l'axe $$ z $$.

Les limites de l'intégrale sont :
- Pour $$ \theta $$ : de $$-\frac{\pi}{2}$$ à $$\frac{\pi}{2}$$, ce qui signifie que nous avons un angle qui couvre un demi-plan.
- Pour $$ r $$ : de $$0$$ à $$2$$, ce qui signifie que nous avons un cylindre de rayon $$2$$.
- Pour $$ z $$ : de $$0$$ à $$2$$, ce qui signifie que la hauteur du cylindre est de $$2$$.

Ainsi, le solide est un cylindre de rayon $$2$$ et de hauteur $$2$$, situé dans le plan $$z$$ et s'étendant de $$-\frac{\pi}{2}$$ à $$\frac{\pi}{2}$$ en termes d'angle.

### Étape 2 : Calcul de l'intégrale

Nous allons maintenant calculer l'intégrale :

$$
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} r \, dz \, dr \, d\theta
$$

Nous allons procéder étape par étape.

1. **Intégration par rapport à $$z$$** :

$$
\int_{0}^{2} r \, dz = r \cdot z \bigg|_{0}^{2} = r \cdot 2 = 2r
$$

2. **Intégration par rapport à $$r$$** :

Nous avons maintenant :

$$
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} 2r \, dr \, d\theta
$$

Calculons l'intégrale par rapport à $$r$$ :

$$
\int_{0}^{2} 2r \, dr = 2 \cdot \frac{r^2}{2} \bigg|_{0}^{2} = r^2 \bigg|_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4
$$

3. **Intégration par rapport à $$\theta$$** :

Nous avons maintenant :

$$
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} 4 \, d\theta
$$

Calculons cette intégrale :

$$
4 \cdot \theta \bigg|_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = 4 \left( \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = 4 \cdot \pi = 4\pi
$$

### Résultat final

Le volume du solide est donc :

$$
\boxed{4\pi}
$$
Le volume du solide est $$4\pi$$.

1-2 Esquissez le solide dont le volume est donné par l’intégrale
et calculez celle-ci.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Étape 1 : Esquisse du solide

Étape 2 : Calcul de l’intégrale

Résultat final

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