ค่าของ \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} \quad \) ตรงกับข้อใด

ในการหาค่าของ \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} \) เราสามารถแทนค่า \( x = 3 \) ลงในฟังก์ชันได้ แต่จะพบว่าเป็นรูป \( \frac{0}{0} \) ซึ่งไม่แน่นอน ดังนั้นเราจะใช้การพิจารณาลิมิตเพิ่มเติม ขั้นตอนแรกคือการประมาณรูปโดยการคูณด้วยพจน์เสริมสำหรับตัวเศษ: \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} \] การคูณจะทำให้เศษเป็น \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} \] เราสามารถตัด \( x-3 \) ทิ้งได้ (ยกเว้นที่ \( x = 3 \)) \[ = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \] เมื่อแทนค่า \( x = 3 \) จะได้ \[ \frac{1}{\sqrt{3+1}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \] ดังนั้น ค่าของลิมิตคือ \( \frac{1}{4} \)