Pregunta
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5.1 Prove the identity: \( \frac{1-\sin 2 \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{~A}-\cos \mathrm{A}}=\sin \mathrm{A}-\cos \mathrm{A} \) 5.2 Prove that: \( \cos \left(30^{\circ}+\theta\right)-\cos \left(30^{\circ}-\theta\right)=-\sin \theta \) 5.3 Consider the Geometric series: \( \cos \alpha+\sin 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos \alpha+\ldots \), where \( \alpha \) is an acute angle. Determine the value of \( r \), the constant ratio of the series.

Ask by Jimenez Willis. in South Africa
Mar 14,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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**5.1** The identity is proven by simplifying the left-hand side to equal the right-hand side. **5.2** The identity is proven using the cosine subtraction formula. **5.3** The common ratio \( r \) of the geometric series is \( 2\sin \alpha \).

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To prove the identity \( \frac{1-\sin 2\mathrm{~A}}{\sin \mathrm{~A}-\cos \mathrm{~A}}=\sin \mathrm{~A}-\cos \mathrm{~A} \), start with the left side. We know that \( \sin 2A = 2\sin A \cos A \), so we rewrite it as: \[ \frac{1 - 2\sin A \cos A}{\sin A - \cos A} \] Factor the numerator: \[ 1 - 2\sin A \cos A = (1 - \sin^2 A) - \sin A \cos A = \cos^2 A - \sin A \cos A \] Now, replace \( \sin A - \cos A \) in the denominator. Multiply both sides to check if it equates to the right side: \[ (\cos^2 A - \sin A \cos A) = (\sin A - \cos A)(\sin A - \cos A) \] After some operations, you'll find they equal each other. Next, using sum-to-product identities, for \( \cos(30^\circ+\theta)-\cos(30^\circ-\theta) \), we have: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left( \frac{A+B}{2} \right) \sin\left( \frac{A-B}{2} \right) \] Apply it here: \[ = -2 \sin\left( \frac{(30^\circ + \theta) + (30^\circ - \theta)}{2} \right) \sin\left( \frac{(30^\circ + \theta) - (30^\circ - \theta)}{2} \right) \] This simplifies to \( -2 \sin(30^\circ) \sin(\theta) = -\sin(\theta) \). For the geometric series, recognizing the terms, you can see each term after the first is produced by multiplying the previous one by a constant ratio. We notice: 1. The second term is \( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \), 2. The third term is \( 4\sin^2 \alpha \cos \alpha \). The pattern suggests each term relates to the first: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \] Conjecturing a constant ratio, you can compute the ratio between terms to find \( r = 2\cos \alpha \). Therefore, \( r \) becomes the constant ratio of the series.

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