si \( B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \) ¿cuál de las siguientes matrices es la inversa de \( B \) tal que \( B \times B^{-1}=I \) (matriz identidad)

Para encontrar la inversa de la matriz \[ B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \] utilizamos la fórmula para la inversa de una matriz \(2 \times 2\). Si tenemos \[ A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] entonces su inversa es \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \] siempre que \(ad-bc\ne 0\). En nuestro caso, \(a=2\), \(b=1\), \(c=1\) y \(d=1\). Calculamos el determinante: \[ \det(B)=ad-bc=2\cdot1-1\cdot1=2-1=1. \] Ya que el determinante es \(1\) (distinto de cero), la inversa existe y resulta: \[ B^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \] Verifiquemos la propiedad \(B\times B^{-1}=I\): Multiplicamos: \[ B \times B^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot(-1) & 2\cdot(-1)+1\cdot2 \\ 1\cdot1+1\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+1\cdot2 \end{pmatrix}. \] Realizando las operaciones: - Primer elemento: \(2-1=1\). - Segundo elemento: \(-2+2=0\). - Tercer elemento: \(1-1=0\). - Cuarto elemento: \(-1+2=1\). Por lo tanto: \[ B \times B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \] La matriz inversa de \(B\) es: \[ B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]