Pregunta
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Which solution to the equation \( \frac{3}{a+2}+\frac{2}{a}=\frac{4 a-4}{a^{2}-4} \) is extraneous?

Ask by Crawford Owen. in the United States
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The extraneous solution is \( a = -2 \).

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To solve the equation \[ \frac{3}{a+2}+\frac{2}{a}=\frac{4 a-4}{a^{2}-4}, \] we first simplify the right-hand side. The denominator \( a^2 - 4 \) factors as \( (a-2)(a+2) \). Thus: \[ \frac{4a - 4}{a^2 - 4} = \frac{4(a - 1)}{(a - 2)(a + 2)}. \] Now, let's rewrite the left-hand side with a common denominator. The common denominator for the left-hand side is \( a(a + 2) \): \[ \frac{3a}{a(a+2)} + \frac{2(a + 2)}{a(a + 2)} = \frac{3a + 2(a + 2)}{a(a + 2)} = \frac{3a + 2a + 4}{a(a + 2)} = \frac{5a + 4}{a(a + 2)}. \] Now we set both sides equal: \[ \frac{5a + 4}{a(a + 2)} = \frac{4(a - 1)}{(a - 2)(a + 2)}. \] Cross-multiplying gives: \[ (5a + 4)(a - 2) = 4(a - 1)a. \] Expanding both sides: Left side: \[ 5a^2 - 10a + 4a - 8 = 5a^2 - 6a - 8. \] Right side: \[ 4a^2 - 4a. \] Setting the equation: \[ 5a^2 - 6a - 8 = 4a^2 - 4a. \] Rearranging gives: \[ 5a^2 - 4a^2 - 6a + 4a - 8 = 0 \implies a^2 - 2a - 8 = 0. \] We can factor this quadratic: \[ (a - 4)(a + 2) = 0. \] Thus the solutions are: \[ a - 4 = 0 \implies a = 4, \] \[ a + 2 = 0 \implies a = -2. \] To verify which solution is extraneous, we substitute back into the original equation. 1. For \( a = 4 \): \[ \text{LHS} = \frac{3}{4 + 2} + \frac{2}{4} = \frac{3}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. \] \[ \text{RHS} = \frac{4(4) - 4}{4^2 - 4} = \frac{16 - 4}{16 - 4} = \frac{12}{12} = 1. \] Both sides equal 1. 2. For \( a = -2 \): \[ \text{LHS} = \frac{3}{-2 + 2} + \frac{2}{-2} = \frac{3}{0} + (-1) \quad \text{(undefined)}. \] The left-hand side is undefined, so \( a = -2 \) is extraneous. Thus, the extraneous solution is: \[ \boxed{-2}. \]

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