b) Una muestra de lisina preparada mediante un procedimiento sintético presentó un valor de $$ [\mathrm{a}] \mathrm{D}=+8,1^{\circ} $$ (c $$ =2 \mathrm{~g} \mathrm{~mL} \mathrm{~mL}^{-1}, \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} $$ ), inferior a la que corresponde al enantiómero puro ¿Cuál es la pureza óptica de la lisina sintética? c) Elija entre las siguientes composiciones la(s) que se ajuste( n$$ ) $$ al valor de la rotación óptica indicada en el apartado anterior: i) $$ 60 \% $$ del enantiómero (+) y $$ 40 \% $$ del enantiómero (-) ii) $$ 60 \% $$ del enantiómero (+) y $$ 40 \% $$ de mezcla racémica (+/-) iii) $$ 80 \% $$ de enantiómero (+) y $$ 20 \% $$ del enantiómero (-)

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular la pureza óptica de la lisina sintética, utilizamos la fórmula de la rotación óptica:

$$
[\alpha] = \frac{\alpha}{c \cdot l}
$$

donde:
- $$[\alpha]$$ es la rotación específica,
- $$\alpha$$ es la rotación observada,
- $$c$$ es la concentración en g/mL,
- $$l$$ es la longitud de la celda en decímetros (suponiendo que es 1 dm, que es lo más común en estos casos).

Dado que la rotación observada $$\alpha$$ es $$+8.1^\circ$$ y la concentración $$c = 2 \, \text{g/mL}$$, podemos calcular la rotación específica:

$$
[\alpha] = \frac{8.1^\circ}{2 \, \text{g/mL} \cdot 1 \, \text{dm}} = 4.05^\circ \, \text{g}^{-1} \, \text{mL} \, \text{dm}^{-1}
$$

Ahora, para determinar la pureza óptica, necesitamos conocer la rotación específica del enantiómero puro. Supongamos que la rotación específica del enantiómero (+) es $$[\alpha]_+ = +x$$ y la del enantiómero (-) es $$[\alpha]_- = -x$$.

La rotación observada de una mezcla de enantiómeros se puede calcular como:

$$
\alpha = \left( p \cdot [\alpha]_+ + q \cdot [\alpha]_- \right) \cdot c
$$

donde $$p$$ es la fracción del enantiómero (+) y $$q$$ es la fracción del enantiómero (-). Dado que $$p + q = 1$$, podemos escribir $$q = 1 - p$$.

Sustituyendo en la ecuación:

$$
\alpha = \left( p \cdot x + (1 - p)(-x) \right) \cdot c
$$

$$
\alpha = (2p - 1)x \cdot c
$$

Para la pureza óptica, podemos expresar $$p$$ como la fracción de enantiómero (+):

$$
\frac{\alpha}{c} = (2p - 1)x
$$

Despejando $$p$$:

$$
p = \frac{\alpha/c + x}{2x}
$$

Ahora, si tomamos como referencia que la rotación específica del enantiómero puro es $$x$$, podemos calcular $$p$$ para cada una de las composiciones propuestas.

### Evaluación de las composiciones:

1. **Opción i)** $$60\%$$ del enantiómero (+) y $$40\%$$ del enantiómero (-):
   - $$p = 0.6$$
   - $$\alpha = (2(0.6) - 1)x = (1.2 - 1)x = 0.2x$$

2. **Opción ii)** $$60\%$$ del enantiómero (+) y $$40\%$$ de mezcla racémica (+/-):
   - La mezcla racémica no contribuye a la rotación, por lo que:
   - $$\alpha = (2(0.6) - 1)x = 0.2x$$

3. **Opción iii)** $$80\%$$ del enantiómero (+) y $$20\%$$ del enantiómero (-):
   - $$p = 0.8$$
   - $$\alpha = (2(0.8) - 1)x = (1.6 - 1)x = 0.6x$$

### Comparación con la rotación observada:

Sabemos que $$\alpha = 8.1^\circ$$ y que $$[\alpha] = 4.05^\circ$$. Por lo tanto, podemos comparar:

- Para la opción i) y ii):
  $$
  0.2x = 8.1^\circ \implies x = \frac{8.1^\circ}{0.2} = 40.5^\circ
  $$

- Para la opción iii):
  $$
  0.6x = 8.1^\circ \implies x = \frac{8.1^\circ}{0.6} = 13.5^\circ
  $$

### Conclusión:

Las opciones que se ajustan al valor de la rotación óptica indicada son:

- **Opción i)** $$60\%$$ del enantiómero (+) y $$40\%$$ del enantiómero (-).
- **Opción ii)** $$60\%$$ del enantiómero (+) y $$40\%$$ de mezcla racémica (+/-).

La opción iii) no se ajusta al valor de la rotación óptica observada.
Para la pureza óptica de la lisina sintética, se utilizó la fórmula de rotación óptica y se evaluaron las composiciones propuestas. Las opciones que se ajustan al valor de la rotación óptica observada son i) $$60\%$$ del enantiómero (+) y $$40\%$$ del enantiómero (-), y ii) $$60\%$$ del enantiómero (+) y $$40\%$$ de mezcla racémica (+/-).

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